Enunciado

No referencial do laboratório, um nêutron com massa m se movendo com velocidade v L , sofre uma colisão elástica frontal com um núcleo de massa M que está em repouso.

  1. Mostre que a velocidade do centro de massa no referencial do laboratório é V = m v L / ( m + M ) .
  2. Qual é a velocidade do núcleo no referencial do centro de massa antes da colisão e depois da colisão?
  3. Qual é a velocidade do núcleo, no referencial do laboratório, depois da colisão?
  4. Mostre que a energia do núcleo, depois da colisão, no referencial do laboratório, é
  5. 1 2 M 2 V 2 = 4 m M m + M 2 1 2   m v L 2

  6. Mostre que a fração da energia perdida pelo nêutron numa colisão elástica é:

- Δ E E = 4 m M m + M 2 = 4 m M 1 + m M 2

Passo 1

Oi pessoal, vou ajudar você aqui, beleza?

Letra (a):

Para resolver esse item vou aplica a conservação do momento linear:

m v L = m + M V

Daqui podemos isolar a velocidade V :

V = m v L ( m + M )

Passo 2

Letra (b):

No referencial do centro de massa temos que V M i = V ., certo? E sabemos também que nesse referencial V f = - V i . Então após a colisão temos:

V M f = - V

Passo 3

Letra (c):

Para resolver esse item, primeiro vou aplicar a conservação de momento linear para obter uma expressão para a velocidade final:

m v L = m v f + M V M f

E como temos que a energia se conserva, teremos mais uma expressão, saca só para as velocidades:

V M f - v f = - V M i - v L = 0 + v L

E assim temos que v f é:

v f = V M f - v L

E substituindo na expressão para o momento linear teremos o seguinte:

m v L = m V M f - v L + M V M f

E podemos resolver para V M f :

V M f = m v L - m V M f - v L

V M f ( m + M ) = 2 m v L

V M f = 2 m ( m + M ) v L

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Letra (d):

A energia cinética do núcleo após a colisão no referencial do laboratório é:

K = 1 2 M V M f 2

E como achamos a velocidade final no passo anterior, podemos substituir:

K = 1 2 M 2 m m + M v L 2

Podemos reorganizar para deixar da forma que o enunciado pede, saca só:

K = 4 m M m + M 2 1 2 m v L 2

Passo 5

Letra (e):

A fração de energia perdida será:

- Δ E E = - K m f - K m i 1 2 m v L 2

Mas temos que as energias são:

K m f = 1 2 m v f 2 ; K m i = 1 2 m v L 2

Então agora vamos substituir e reorganizar um pouco essa expressão:

- Δ E E = - 1 2 m v f 2 - 1 2 m v L 2 1 2 m v L 2

- Δ E E = - 1 2 m v f 2 - v L 2 1 2 m v L 2

E fazendo algumas simplificações e usando o fato de que v f = V M f - v L temos:

- Δ E E = - 1 2 m V M f - v L 2 - v L 2 1 2 m v L 2

= - 1 2 m 2 m m + M v L - v L 2 - v L 2 1 2 m v L 2 = - 1 2 m v L 2 2 m m + M - 1 2 - 1 1 2 m v L 2

Ufa, mais um pouco! Agora já podemos cancelar o denominador, estamos quase lá!

- Δ E E = 2 m m + M - 1 2 - 1 = - 2 m - m - M M + m 2 - 1

- Δ E E = 4 M m M + m 2 = 4 m M M 2 1 + m M 2 = 4 m M 1 + m M 2

Resposta

a )   d e m o n s t r a ç ã o

b ) - V

c ) V M f = 2 m ( m + M ) v L

d )   d e m o n s t r a ç ã o

e )   d e m o n s t r a ç ã o

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