Enunciado

A região esférica a < r < b tem carga por unidade de volume ρ = A / r , onde A é uma constante. No centro ( r = 0 ) da cavidade envolvida pela esfera, existe uma carga pontual q . Qual deveria ser o valor de A para que o campo elétrico na regiāo a < r < b tenha intensidade constante?

Passo 1

O problema tem simetria esférica, então use uma superfície gaussiana que é uma casca esférica. O campo E → será perpendicular à superfície, então a lei de Gauss será simplificada para

q e n c / ϵ 0 = ∮ E → ⋅ d A → = ∮ E d A = E ∮ d A = 4 π r 2 E .

Consequentemente ,  E = q e n c / 4 π ϵ 0 r 2 .

q e n c = q + 4 π ∫ ρ r 2 d r ou

q e n c = q + 4 π ∫ a r   A r d r = q + 2 π A r 2 - a 2

O campo elétrico será constante se q e n c se comportar como r 2 , o que requer q = 2 π A a 2 , ou A = q / 2 π a 2 .

Resposta

O campo elétrico será constante se q e n c se comportar como r 2 , o que requer q = 2 π A a 2 , or A = q / 2 π a 2 .

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