Enunciado

Que resistência R deve ser ligada em série com uma indutância L = 220 m H e uma capacitância C = 12,0 μ F para que a carga máxima do capacitor caia para 99,9% do valor inicial após 50,0 ciclos? (Suponha que ω ' = ω .)

Passo 1

Fala aí, galerinha! 😁

Nesse problema temos um circuito L C e adicionamos um resistor R e nosso objetivo é obter o valor da resistência R de modo que após 50 ciclos de carregamento, a carga do capacitor caia para 99,9 % .

Parece complicado, né? 👀

Bem, usando o fato que ω ' = ω , podemos escrever o período:

T = 2 π ω

Temos a seguinte relação para ω :

ω = 1 L C

T = 2 π L C

Portanto o tempo que o circuito demora para que 50 ciclos sejam executados é:

t = 50 T = 100 π L C

Sabemos que a carga máxima de um capacitor é dada pela equação:

q m a x = Q e - R t 2 L

Podemos começar daqui? 😉

Passo 2

Como Q é a carga no instante t = 0 , temos que a carga máxima do capacitor sera 99,9 % do valor original quando: q m a x Q = 0,999 , portanto:

q m a x Q = e - R t 2 L

Vamos tirar e do lado direito da equação fazendo l n nos dois lados

l n q m a x Q = - R t 2 L

Isolando R e substituindo t = 100 π L C

R = - 2 L 100 π L C l n q m a x Q

R = - 2 100 π L C l n q m a x Q

Substituindo os valores dados no enunciado, temos

R = - 2 100 π 220 × 10 - 3 12,0 × 10 - 6 l n 0,999

R = 8,62 × 10 - 4 Ω

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

R = 8,62 × 10 - 4 Ω

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