Enunciado

Para um objeto celestial de raio R , a aceleração devida à gravidade g a uma distância x do centro do objeto é g = g 0 R 2 / x 2 , onde g 0 é a aceleração devido à gravidade na superfície do objeto, e x > R . Para a lua, tome g 0 = 1,63   m / s 2 e R = 3200   k m . Se uma pedra é solta a partir do repouso a uma altura 4 R acima da superfície lunar, com qual rapidez a pedra impacta a lua? Dica: a sua aceleração é uma função da posição e aumenta conforme o objeto cai. Então não use as equações para queda livre com aceleração constante, tente voltar às relações mais básicas.

Passo 1

Seguindo a dica do enunciado, vamos voltar às relações mais básicas. Estamos procurando uma relação entre a aceleração e a posição. A definição da aceleração dá:

a = d v d t

E reescrevendo com a regra da cadeia:

a = d v d x d x d t = v d v d x

a   d x = v   d v

E como nesse caso toda a aceleração é gravitacional, podemos substituir a = - g com a fórmula dada no enunciado:

- g 0 R 2 x 2   d x = v   d v

Passo 2

Agora vamos integrar ambos os lados dessa equação diferencial separável, lembrando que queremos encontrar a rapidez final v , com v 0 = 0 , conforme a posição vai de x = 4 R para x = R :

∫ 4 R R - g 0 R 2 x 2   d x = ∫ 0 v v   d v

E a forma integral indefinida dessa equação é:

g 0 R 2 x = v 2 2

Agora vamos substituir os limites de integração:

g 0 R 2 1 R - 1 4 R = v 2 2

g 0 R 2 3 4 R = v 2 2

Agora vamos isolar a rapidez v :

v = 3 g 0 R 2

Substituindo os valores numéricos:

v = 3 1,63 3200.10 3 2

v ≅ 2,8   k m / s

Resposta

A pedra impacta a lua com rapidez v = 2,8   k m / s .

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