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Uma roda tem uma aceleração angular constante de 3,0   r a d / s 2 .Durante um certo intervalo de 4,0   s , descreve um ângulo de 120   r a d . Supondo que a roda partiu do repouso, por quanto tempo já estava em movimento no início deste intervalo de 4,0   s ?

Passo 1

Show de bolinhas galera, o deslocamento angular em função do tempo é dado por:

θ = θ 0 + ω t + α t 2 2

Como a roda parte do repouso, temos que o deslocamento angular será:

θ = α t 2 2

Onde α é a aceleração angular. Vamos chamar de t 1   o instante inicial do intervalo que antecede a medição de tempo, e de t 2 o instante final do intervalo quando marcamos os 4 s , ou seja:

t 2 - t 1 = 4   s

Logo, o tempo em que a roda já estava em movimento, é o tempo t 1 , afinal, após ele começamos a medir o tempo até t 2 . Dessa maneira os deslocamentos angulares correspondentes serão:

θ 1 = α t 1 2 2     ,   θ 2 = α t 2 2 2

Passo 2

Mas a malandragem agora, é que o enunciado nos fornece a variação da posição angular, ∆ θ = 120   r a d , tal que:

  ∆ θ = θ 2 - θ 1

∆ θ = 1 2 α t 2 2 - t 1 2

E lembrando do produto notável a 2 - b 2 = a + b a - b , obtemos a relação:

∆ θ = 1 2 α t 2 + t 1 ( t 2 - t 1 )

t 2 + t 1 = 2 ∆ θ α ( t 2 - t 1 )

Para ∆ θ = 120   r a d   , α = 3 r a d s 2 e   t 2 - t 1 = 4 s , temos

t 2 + t 1 = 2 ∆ θ α ( t 2 - t 1 ) = 2 120   rad 3   rad/s² ( 4   s )

t 2 + t 1 = 20   s

Passo 3

Saca só a sagacidade, porque agora, temos um sistema de equações para os tempos t 1 e t 2 :

t 2   –   t 1   =   4,0   s t 2   +   t 1   =   20   s

Somando as duas equações

2 t 2 = 24 ,   0   s

t 2 = 12   s

E para t 1 :

12 - t 1 = 4

t 1 = 8 s

Sendo assim, a roda se movimenta durante 8   s , antes de começar a medir o tempo de 4 s .

Nota: Podemos verificar se o resultado está correto calculando os valores de θ 1 e θ 2 :

θ 1 = α t 1 2 2 = 1 2 3   rad/s² 8 s 2 = 96   r a d

  θ 2 = α t 2 2 2 = 1 2 3   rad/s² 12   s 2 = 216   r a d

A diferença é realmente:

∆ θ = θ 2 - θ 1 = 216   r a d - 96   r a d

∆ θ = 120   r a d

Resposta

t 1 = 8 s

Tranquilo galera? Bora resolver mais questões então

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