Enunciado

Quais são (a) a velocidade e (b) o período de um satélite de 220   k g em uma órbita aproximadamente circular 640   k m acima da superfície da Terra? Suponha que o satélite perde energia mecânica a uma taxa média de 1,4   .   10 5   J por revolução orbital. Usando a aproximação razoável de que a órbita do satélite se torna uma “circunferência cujo raio diminui lentamente”, determine (c) a altitude, (d) a velocidade e (e) o período do satélite ao final da revolução número 1500 . (f) Qual é o módulo da força retardadora média que atua sobre o satélite? O momento angular em relação à Terra é conservado (g) para o satélite e (h) para o sistema satélite-Terra (supondo que o sistema é isolado)?

Passo 1

São muitas informações e perguntas, então vamos com calma.

A letra (a) quer saber a velocidade e nos dá apenas o raio da órbita e a massa. Vamos ver a fórmula que conhecemos para a velocidade de uma órbita:

v = G M r

Sem problemas, só vamos precisar do raio r = 640   .   10 3   m somado ao raio da Terra:

v =   6,67.10 - 11 5,98.10 24 640.10 3 + 6370.10 3 = 7,54   .   10 3   m / s

Próximo!

Passo 2

A letra (b) quer saber o período do satélite. Vamos ver a fórmula que sabemos para o período de uma órbita: a 3ª lei de Kepler.

T 2 = 4 π 2 G M r 3

Tranquilo, só vamos precisar mesmo do raio da órbita. Pra isso precisamos somar o raio da Terra R T ao raio que foi dado no enunciado:

T 2 = 4 π 2 G M 6370.10 3 + 640.10 3 3

T 2 = 4 . 3,14 2 6,67   .   10 - 11 5,98   .   10 24 7,01   .   10 6 3

T = 5,84   .   10 3   s

Pronto!

Passo 3

As letras (c), (d) e (e) se completa. Depois que acharmos a “altitude” após a perda de energia, podemos seguir o mesmo procedimento das letras (a) e (b) para achar a nova velocidade e o novo período.

Então primeiro vamos lembrar como o raio de órbita se relaciona à energia mecânica. A fórmula para a energia mecânica de uma órbita é:

E = K + U = - G M m 2 r

Vamos calcular logo a energia mecânica inicial do nosso satélite:

E = - G M m 2 r = - 6,67.10 - 11 5,98.10 24 220 2 640.10 3 + 6370.10 3 = - 6,26   .   10 9   J

O enunciado diz que o satélite perde energia mecânica a uma taxa de 1,4   .   10 5   J por volta. Então pra calcular o total de energia perdida, é só multiplicar essa taxa pelo número de voltas. Depois de 1500 voltas a energia vai ser:

E ' = - 6,26.10 - 9 - 1500 1,4   .   10 5 =   - 6,47.10 9   J

Beleza, agora vamos ver qual é o raio de órbita que essa energia permite. Retomando a nossa fórmula de antes:

- 6,47.10 9 = - G M m 2 r

r = 6,67.10 - 11 5,98.10 24 220 2 6,47.10 9 = 6,78   .   10 6   m

Lembrando que essa é a distância até o centro da Terra, para achar a “altitude” que a questão pediu temos que subtrair o raio da Terra.

h = 6,78.10 6 - 6,370.10 6 = 4,1   .   10 5   m

E chegamos à resposta da letra (C).

Passo 4

Agora que temos a “nova” altitude, as letras (d) e (e) são uma repetição das letras (a) e (b). Então vamos usar as mesmas fórmulas.

Primeiro para a velocidade:

v = G M r = 6,67.10 - 11 5,98.10 24 R T + h

Tínhamos encontrado o valor de R T + h logo acima, é 6,78   .   10 6   m .

v = 6,67.10 - 11 5,98.10 24 6,78   .   10 6 = 7,67   .   10 3   m / s

E essa é a resposta da letra (d).

Passo 5

Agora para a letra (e) é só usar de novo a fórmula para o período:

T 2 = 4 π 2 G M r 3

T 2 = 4 . 3,14 2 6,67   .   10 - 11 5,98   .   10 24 6,78   .   10 6 3  

T =   5,6.10 3   s

Pronto.

Passo 6

A letra (f) quer saber o módulo da força retardadora média que atua sobre o satélite.

Perceba que alguma coisa realizou trabalho sobre o satélite para fazê-lo perder toda aquela energia. E quem realiza trabalho? Uma força.

Como a questão pede a força restauradora média, podemos usar a definição mais simples de trabalho ( W ) :

W = F   .   Δ s

F = W Δ s

Temos que achar W e Δ s para fechar a equação. Começando por W .

O enunciado fala em uma perda de energia de 1,4   .   10 5   J por volta, e podemos dizer que na primeira volta o raio era bem próximo do original, ou seja r =   640.10 3 + 6370.10 3 = 7,1   .   10 6   m .

Usando a fórmula para o comprimento da circunferência, vamos substituir:

F = 1,4.10 5 2 . 3,14 . 7,1.10 6 = 3,2   .   10 - 3   N

E esse é o módulo da força restauradora.

Passo 7

A letra (g) quer saber se o momento angular (em relação à Terra) do satélite é conservado.

Vamos lembrar que a definição (mais simples) do momento angular é:

L → = I . τ →

Onde L é o momento angular, I é o momento de inércia, e τ é o torque.

Como o momento de inércia do satélite não muda, o momento angular só vai ser conservador se não existir torque sobre o satélite.

Mas como nós até já calculamos a força sobre o satélite, o torque existe! Ou seja, o momento angular não é conservado.

Passo 8

A letra (h) já dá a resposta no enunciado. Quer saber se o momento angular do sistema Terra-satélite é conservado, considerando que esse sistema é isolado.

Uma das leis mais importantes da física diz que o momento angular de um sistema isolado é conservado. Assim como o momento linear e tantas outras grandezas. Então dessa vez, a resposta é sim.

Pronto... Agora acabou!

Resposta

(a) v =   7,54   .   10 3   m / s  

(b)   T = 5,84   .   10 3   s

(c) h =   4,1   .   10 5   m

(d) v =   7,67   .   10 3   m / s  

(e) T =   5,6.10 3   s

(f) F =   3,2   .   10 - 3   N

(g) O momento angular não é conservado.

(h) Sim, o momento angular é conservado.

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