Enunciado

Na figura, a água entra em regime laminar no lado esquerdo de uma tubulação (raio r 1 = 2,00   R ), atravessa a parte seção central (raio R ), e sai pelo lado direito (raio r 3 = 3,00   R ). A velocidade da água na parte centra é 0,500   m / s . Qual é o trabalho total realizado sobre 0,400   m 3 de água enquanto a água passa do lado esquerdo para o lado direito?

Passo 1

Belezoca galerinha, como estamos estamos falando e um escoamento laminar sobre um tubo de espessuras distintas, teremos que a água assumirá velocidades distintas em cada parte do tubo. Sendo assim, podemos começar procurando a razão entre as velocidades em cada uma das três regiões da tubulação.

Primeiro, comparando a porção esquerda com a parte central, obtemos:

A 1 v 1 = A 2 v 2

π r 1 2 v 1 = π r 2 2 v 2

2 R 2 v 1 = R 2 v 2

Logo:

v 1 = v 2 4

E agora comparando a porção direita com a parte central, vemos que:

π r 3 2 v 3 = π R 2 v 2

3 R 2 v 3 = R 2 v 2

v 3 = v 2 9

Vamos guardar essas razões.

Passo 2

Iradoso, mas agora como vamos calcular o trabalho realizado sobre a água nesse trajeto?

Mas calma lá meu patrão, porque é só a gente calcular a variação da energia cinética! Pelo Teorema do trabalho-energia, sabemos que a variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado sobre uma certa massa, tal que.

W = Δ K

W = m v 3 2 2 - m v 1 2 2

W = m 2 v 3 2 - v 1 2

Agora temos que substituir as razões que calculamos no passo 1 , de forma que:

W = m 2 v 2 9 2 - v 2 4 2

Logo:

W = m v 2 2 2 1 81 - 1 16

W = - m 0,5 2 2 0,05

W ≅ - 6,25 × 10 - 3 m

Passo 3

Para calcular a massa é só usar a densidade e o volume informados na questão:

ρ = m V

Sendo assim:

m = ρ V

m = 10 3 0,4

m = 4,0 × 10 2   kg

Então:

W = 6,25 × 10 - 3 4,0 × 10 2

W = - 2,5   J

Pronto!

Resposta

O trabalho realizado sobre esse volume de água é W = - 2,5   J

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