Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 13.7 - Ex. 60
Na figura, dois satélites, e , ambos de massa , ocupam a mesma órbita circular de raio em torno da Terra e se movem em sentidos opostos, estando, portanto, em rota de colisão. (a) Determine a energia mecânica total do sistema dos dois satélites e a Terra antes da colisão. (b) Se a colisão é perfeitamente inelástica, de modo que os destroços se tornam um único bloco (de massa ), determine a energia mecânica total imediatamente após a colusão. (c) Imediatamente após a colisão, os destroços caem em direção ao centro da Terra ou continuam em órbita da Terra?
Passo 1
Vamos lembrar que a energia mecânica é a soma da energia potencial com a energia cinética. Então para um determinado satélite, a fórmula da energia mecânica é:
Precisamos lembrar da fórmula para a velocidade orbital:
Vamos substituir na fórmula anterior para termos uma fórmula da energia mecânica de um satélite:
Passo 2
(a) Agora queremos usar isso para calcular a energia mecânica do sistema todo. Já que os dois satélites tem a mesma massa , fica assim:
Agora é só substituir os valores:
Passo 3
Para resolver a letra (b), precisamos entender o que vai acontecer na colisão dos satélites. O enunciado já disse que, depois de colidir, os dois seguem juntos como um corpo só, e que os dois satélites tem a mesma massa e raio de órbita (e, portanto mesma velocidade).
Vamos aplicar a conservação de momento linear do sistema:
Não esqueça de que momento linear é uma grandeza vetorial. Como a colisão é frontal, podemos atribuir sinal positivo a um dos dois, e negativo ao outro:
E a única solução possível é:
Ou seja, os dois satélites não têm velocidade após a colisão. Agora falta calcular a energia mecânica deles nessas condições.
Passo 4
Como vimos que a velocidade é zero, então agora a energia cinética também é zero, e a energia mecânica vai ser simplesmente a energia potencial. E como agora temos um único corpo de massa :
Passo 5
Por último, a questão quer saber o que vai acontecer com o par de satélites agora que eles colidiram.
Vimos que, depois da colisão, a velocidade de ambos os satélites zerou. Isso quer dizer que eles não têm mais velocidade tangencial (de órbita), e vão cair verticalmente em direção ao centro da Terra, com ajuda da força gravitacional.
Resposta
(a)
(b)
(c) Os destroços caem em direção ao centro da Terra
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