Enunciado

São-lhes fornecidos três vetores e suas componentes na forma: A → = a x i ^ + a y j ^ + a z k ^ , B → = b x i ^ + b y j ^ + b z k ^ , e C → = c x i ^ + c y j ^ + c z k ^ . Mostre que as seguintes igualdades são válidas:

A → ⋅ B → × C → = C → ⋅ A → × B → = B → ⋅ C → × A →

Passo 1

Para mostrar isso, vamos calcular cada uma das três parcelar e verificar que são iguais!

Primeiro temos o seguinte:

A → ⋅ B → × C →

B → × C → = ( b x i ^ + b y j ^ + b z k ^ ) × ( c x i ^ + c y j ^ + c z k ^ )

Isto é:

B → × C → = b y c z - b z c y i ^ + b z c x - b x c z j ^ + b x c y - b y c x k ^

Quando fizermos A → ⋅ B → × C → :

A → ⋅ B → × C → = a x b y c z - b z c y + a y b z c x - b x c z + a z b x c y - b y c x

A → ⋅ B → × C → = a x b y c z - a x b z c y + a y b z c x - a y b x c z + a z b x c y - a z b y c x

Passo 2

Agora vamos fazer pra C → ⋅ A → × B → :

Repara que o produto vetorial só vai mudar os coeficientes dos vetores, mas a cara é a mesma!

A → × B → = a y b z - a z b y i ^ + a z b x - a x b z j ^ + a x b y - a y b x k ^

Quando fizermos o produto escalar C → ⋅ A → × B → :

C → ⋅ A → × B → = c x a y b z - a z b y + c y a z b x - a x b z + c z a x b y - a y b x

Isto é:

C → ⋅ A → × B → = c x b y a z - c x b z a y + c y b z a x - c y b x a z + c z b x a y - c z b y a x

Passo 3

Por último, temos o seguinte:

B → ⋅ C → × A →

Mesma ideia, o produto vetorial vai ter a mesma cara!

C → × A → = c y a z - c z a y i ^ + c z a x - c x a z j ^ + c x a y - c y a x k ^

Quando fizermos o produto escalar B → ⋅ C → × A → :

B → ⋅ C → × A → = b x c y a z - c z a y + b y c z a x - c x a z + b z c x a y - c y a x

Isto é:

B → ⋅ C → × A → = b x c y a z - b x c z a y + b y c z a x - b y c x a z + b z c x a y - b z c y a x

Viu que nos três casos a única coisa que ta mudando é a ordem em que estamos multiplicando os coeficientes?! Como na multiplicação a ordem não importa, então temos que:

A → ⋅ B → × C → = C → ⋅ A → × B → = B → ⋅ C → × A →

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam dois vetores não-nulos, A → e B → . Seu produto vetorial possui magnitude máxima se A → e B → :São paralelosSão perpendicularesSão antiparalelosFormam um ângulo de 45 ° entre si
Verdedeiro ou falso:Se dois vetores têm sentidos opostos, seu produto vetorial deve ser zero.A magnitude do produto vetorial de dois vetores é mínima quando os vetores são perpendiculares.O conhecimen
Se A → = 3 j ^ , A → × B → = 9 i ^ e A → ⋅ B → = 12 , determine B → .
Se A → = 4 i ^ , B z = 0 ,B → = 5 e A → × B → = 12 k ^ , determine B → .