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Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick

Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - 13.6 - 53

Um satélite de 20   k g está em uma órbita circular com um período de 2,4   h e um raio de 8,0   .   10 6   m em torno de um planeta de massa desconhecida. Se o módulo da aceleração gravitacional na superfície do planeta é 8,0   m / s 2 , qual é o raio do planeta?

Passo 1

Como queremos achar o raio do planeta, vamos ver o que já sabemos sobre ele. Se a aceleração da gravidade na superfície do planeta é a g , então:

a g = G . M R 2  

Onde R é o raio do planeta e M é a massa do planeta. Como já temos g , só falta acharmos o M pra resolver a questão. Vamos ver se podemos usar os outros dados para achar isso.

A questão deu o período T s e o raio orbital R s do satélite. Sabemos que essas duas grandezas se relacionam pela lei dos períodos de Kepler:

T s 2 = 4 . π 2 G . M . R s 3

Obs.: Cuidado, na lei dos períodos o M é a massa do corpo sendo orbitado, e não do corpo que orbita.

Pronto, sem nem precisar usar a massa do satélite, temos tudo pra resolver a questão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pra começar vamos usar a segunda equação para achar a massa do planeta. O raio R s é 8,0   .   10 6   m e o período orbital T s é:

T s = 2,4   h = 2,4   .   60 .   60 = 8640   s

Então:

T s 2 = 4 . π 2 G . M . R s 3

M = R S 3 T S 2   . 4 π 2 G

M = 8,0   .   10 6 3 8640 2   . 4   .   3,14 2 6,67   .   10 - 11 = 4,05   .   10 24   k g

Passo 3

Agora que temos a massa do planeta, vamos voltar à nossa primeira fórmula:

a g = G . M R 2  

O enunciado já deu a g = 8,0   m / s 2 , e agora sabemos que M =   4,05   .   10 24   k g .

Substituindo tudo:

a g = G . M R 2  

R = G . M a g = ( 6,67   .   10 - 11 ) . 4,05   .   10 24 8,0 = 5,8   .   10 6   m

Pronto!

Resposta

R =   5,81   .   10 6   m

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