Enunciado

12.36. Júpiter quente. Em 2004, astrônomos relataram a descoberta de um planeta tão grande quanto Júpiter orbitando muito perto da estrela HD 179949 (daí o termo “Júpiter quente”). A órbita é exatamente a distância de Mercúrio a nosso Sol, e o planeta leva apenas 3,09 dias para completar uma órbita (suponha que a órbita seja circular). (a) Qual é a massa da estrela? Dê a sua resposta em quilogramas e como um múltiplo da massa de nosso Sol. b) Qual a velocidade (em km/s) com que esse planeta se move?

Passo 1

Bom, o enunciado nos dá o raio orbital e o período do planeta. Com essas informações a gente precisa descobrir qual é a massa da estrela. A gente pode fazer o seguinte, o calculo do período é de uma órbita circular é o seguinte

T = 2 π r 3 2   G M

Então tudo que a gente precisa fazer é isolar a massa. Todos os outros valores a gente tem, é só olhar no Apêndice

G M = 2 π r 3 2 T

Agora a gente eleva os dois lados ao quadrado

G M = 4 π 2 r 3 T 2

Agora é só passar o G dividindo

M = 4 π 2 r 3 T 2 G

Passo 2

Agora temos uma equação para a massa. É só substituir os valores. Mas vamos lembrar de colocar tudo no SI, então

3,09   d i a s → 266976   s

M = 4 π 2 5,79 ⋅ 10 10 3 266976 2 ⋅ 6,6742 ⋅ 10 - 11

Então a massa é

M = 1,61 ⋅ 10 33 k g

Mas o exercício pede para gente dar a resposta como um múltiplo da massa do Sol. Então vamos achar uma relação através da fração

M M S

A massa do Sol está no Apêndice do livro

1,61 ⋅ 10 33 1,99 ⋅ 10 30 = 809

Então a massa da estrela é

M = 809 ⋅ M S

Passo 3

Agora a gente tem que achar a velocidade do planeta. A velocidade numa órbita circular pode ser calculada assim

v = G M r

Agora é só substituir os valores

v = 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 1,61 ⋅ 10 33   5,79 ⋅ 10 10

Agora a gente faz essa continha e temos

v = 1,36 ⋅ 10 6 m s

Mas a gente tem que colocar isso em k m s . Então é só dividir por 10 3 .

v = 1,36 ⋅ 10 6 10 3 = 1,36 ⋅ 10 3 k m s

Resposta

  1. M = 809 ⋅ M S
  2. 1,36 ⋅ 10 3 k m s
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