Enunciado

12.33. A estrela Rho Cancri está a uma distância de 57 anos-luz da Terra e possui massa igual a 0,85 da massa do Sol. Verificou-se que existe um planeta descrevendo uma órbita circular em trono de Rho Cancri com raio igual a 0,11 do raio da órbita da Terra em torno do Sol. a) Qual é a velocidade orbital e b) o período orbital do planeta de Rho Cancri?

Passo 1

Bom, já que o planeta está descrevendo uma órbita circular na estrela, a força de atração é igual a força centrípeta. Então

m v 2 r = G M m r 2

A gente pode isolar a velocidade. Vamos começar cortando m r

v 2 = G M r

Agora é só passar a raiz

v = G M r

Agora a gente tem uma equação para a velocidade. O exercício nos diz também que a massa da estrela é 0,85 da massa do Sol, e o raio orbital é 0,11 do raio orbital da Terra em torno do Sol. Então

v = G 0,85 ⋅ M S 0,11 ⋅ R T S

Agora a gente pode olhar esses valores no Apêndice do livro para substituir na equação

v = 6,6742 ⋅ 10 - 11 0,85 ⋅ 1,99 ⋅ 10 30 0,11 ⋅ 1,5 ⋅ 10 11

Agora é só fazer essa continha

v = 8,3 ⋅ 10 4 m s

E essa é a resposta do item (a)

Passo 2

Agora para o item (b) a gente precisa encontrar o período. Uma das formas que a gente pode usar para encontrar o período é usar essa equação

T = 2 π r 3 2 G M

Mas com os dados do enunciado a gente pode fazer

T = 2 π 0,11 ⋅ R T S 3 2 G ⋅ 0,85 ⋅ M S

De novo a gente olha esses valores no Apêndice para montar a continha

T = 2 π 0,11 ⋅ 1,5 ⋅ 10 11 3 2 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 0,85 ⋅ 1,99 ⋅ 10 30

Então a gente fica com

T = 1,3 ⋅ 10 6   s

Que número gigante! Vamos passar isso para dias

T = 1 , 3 ⋅ 10 6 86400 = 14   d

Resposta

  1. v = 8,3 ⋅ 10 4 m s
  2. T = 1,3 ⋅ 10 6   s
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