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Um satélite é colocado em uma órbita elíptica cujo ponto mais distante está a 360   k m da superfície da Terra e cujo ponto mais próximo está a 180   k m da superfície. Calcule (a) o semi-eixo maior e (b) a excentricidade da órbita

Passo 1

Show de belezeras pessoal, temos o seguinte desenho da situação:

Veja que na figura a Terra foi colocada mais ou menos no foco da elipse, respeitando a 1ª lei de Kepler. Nesse caso, temos a distância do foco (Terra) até a órbita mais próxima, de 180   km , enquanto temos a distância do foco (Terra) até a órbita mais distante dada como 360   km , além disso, temos que o raio da Terra é R T . Sabendo disso, bora lá ver como vai ficar essa brincadeira!

Passo 2

A questão fala nos pontos mais/menos próximos da órbita, e pede informações sobre a geometria da elipse. Vamos lembrar das fórmulas que relacionam esses valores:

R m á x = a ( 1 + e )

R m í n = a ( 1 - e )

Temos as distâncias máxima e mínima do satélite em relação à superfície da Terra. Se somarmos o raio da Terra a esses valores, vamos ter R m á x e R m í n :

R m á x = 6,37 × 10 6 + 360 × 10 6 =   6,73 × 10 6   m

R m í n = 6,37 × 10 6 + 180 × 10 6 =   6,55 × 10 6   m

Agora o primeiro par de equações vira um sistema, tal que:

6,73 × 10 6   = a ( 1 + e ) 6,55 × 10 6 = a ( 1 - e )

Passo 3

Belejóia, agora temos um sistema de duas equações e duas incógnitas. Podemos usar ele pra resolver a questão toda! Primeiro, vamos achar o valor de a .

Somando as duas equações:

6,73 × 10 6 + 6,55 × 10 6 = a + a e + a - a e

6,73 × 10 6 + 6,55 × 10 6 = 2 a

Logo:

a = 6,73 × 10 6 + 6,55 × 10 6 2

a = 6,64 × 10 6   m

Ou em km :

a = 6,64 × 10 3   km

E assim temos a resposta do item (a)

Passo 4

Agora queremos achar o valor de e . Mas como já sabemos que a = 6,64 × 10 6   m é só a gente substituir isso em qualquer uma das equações. Vamos pegar a primeira:

6,73 × 10 6   = a ( 1 + e )

Logo:

6,73 × 10 6   = 6,64 × 10 6 ( 1 + e )

e = 6,73 × 10 6 6,64 × 10 6 - 1

e = 0,0136

Prontinho!

Resposta

(a) a = 6,64 × 10 3   km

(b) e = 0,0136

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