Enunciado

Seguindo o procedimento análogo ao do 20.6P, calcule a constante de tempo de um capacitor esférico preenchido por um dielétrico.

Passo 1

Seguindo o mesmo raciocínio do último exercício (vai lá dar uma olhadinha), vamos achar a resistência do sistema pensando em várias cascas esféricas infinitesimais de raio r e espessura d r . A resistência infinitesimal dessa casca será

d R = ρ A c a s c a d r

Sabemos que para uma esfera A c a s c a = 4 π r 2 , de modo que

d R = ρ 4 π d r r 2

Para achar a resistência basta integrar de r = a até r = b :

R = ρ 4 π ∫ a b d r r 2 = ρ 4 π 1 a - 1 b = ρ b - a 4 π a b

Passo 2

No capítulo 17 vimos que a capacitância do capacitor esférico no vácuo era

C v a c u o = 4 π ϵ 0 a b b - a

No meio com permissividade elétrica ϵ , a capacitância é

C = 4 π ϵ a b b - a

Lembrando que ϵ = κ ϵ 0 , temos que

C = 4 π κ ϵ 0 a b b - a

Passo 3

Multiplicando a resistência pela capacitância:

R C = ρ b - a 4 π a b ⋅ 4 π κ ϵ 0 a b b - a

Simplificando o que der para simplificar, achamos

R C = ρ κ ϵ 0

Já está dando para perceber que esse resultado é bastante geral né?

Resposta

R C = ρ κ ϵ 0

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