Enunciado

Uma corda esticada tem uma massa específica linear de 5,00   g / c m e está sujeita a uma tensão de 10,0   N . Uma onda senoidal na corda tem uma amplitude de 0,12   m m , uma frequência de 100   H z e está se propagando no sentido negativo de um eixo x . Se a equação da onda é da forma y x , t = y m s e n ( k x ± ω t ) , determine (a) y m , (b)   k , (c) ω e (d) o sinal que precede ω .

Passo 1

Fala aii galerovsk, tudo beleza?

Nesse exercício aqui, o enunciado nos diz que uma corda esticada tem uma massa especifica de 5,00   g/cm e est´sujeita a uma tensão T = 10,0   N . Sendo a onda, uma onda senoidal com uma amplitude de 0,12   mm , uma frequência de 100   Hz e está se propagando no sentido negativo de um eixo x , o enunciado quer que a gente encontre, na letra (a), a amplitude y m da onda.

Sabendo que a equação de onda é da forma:

y x , t = y m . sen ⁡ k x ± ω t

MASSS, logo de cara o enunciado nos disse que a ,plitude do movimento é de 0,12   mm , sedno assim não precisamos fazer nenhuma continha, afinal:

y m = 0,12   mm

Passo 2

(b) Agora queremos o número de onda k , logo precisamos lembrar que a fórmula é dada como:

k = 2 π λ

Então só falta a gente achar o comprimento de onda λ . Como ele se relaciona com a frequência através da fórmula:

λ = v f

Substituindo isso na equação do número de onda, obtemos que:

k = 2 π ( v / f   )

k = 2 π . f v

A questão já deu a frequência, é f = 100   H z , e aí fica faltando só a velocidade. Como o enunciado falou em tensão e massa específica linear, já podemos lembrar logo da fórmula para a velocidade num fio sob ação de uma força:

v = T μ

Só precisamos tomar cuidado com as unidades. A tensão já está em newtons, mas a massa específica está em gramas por centímetro, então vamos converter:

μ = 5,00   g.cm = 0,5   kg/m

E então:

v = 10   N 0,5   kg/m

v = 4,47   m/s

Agora sim, é só a gente substituir tudo que descobrimos na equação do número de onda k , de modo que:

k = 2 π . f v

k = 2 π . 100 4,47

k = 141   rad/m

Passo 3

(c) Agora falta a frequência angular ω , então podemos utilizar a equação:

ω = 2 π f

Sendo assim, obtemos que ω vale:

ω = 2 π × 100

ω = 628   rad/s

Passo 4

(d) Agora pra saber o sinal do ω é só pensar no sentido de propagação da onda. Podemos lembrar da regrinha:

Onda se propagando no sentido positivo ↔ Sinal negativo no  ω

Onda se propagando no sentido negativo ↔ Sinal positivo no  ω

No nosso caso, a onda se propaga no sentido negativo, então o sinal do ω é positivo. Portanto:

y x ,   t = 0,12   mm sen ⁡ 141   rad/m x + 628   rad/s t

Resposta

(a) y m = 0,12   mm  

(b) k = 141   rad/m  

(c) ω = 628   rad/s  

(d) Positivo. y x ,   t = 0,12   mm sen ⁡ 141   rad/m x + 628   rad/s t

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