Enunciado

Seja C uma curva plana fechada orientada. A área orientada S associada a C é definida como um vetor perpendicular ao plano de C, de magnitude igual à área S contida dentro de C e sentido tal que, vista da extremidade de S , C é descrita em sentido anti horário (a) interprete a × b em termos de S . (b) demonstre que se orientarmos os contornos das quatro faces de um tetraedro de tal forma que o sentido de S para cada face seja sempre o da normal externa (apontando para fora do tetraedro), a resultante das áreas orientada associadas às quatro faces é nula.

Passo 1

Vamos pensar em dois vetores. Um deles é o vetor a → , que é um vetor infinitesimal tangente à curva, como um vetor derivada. O outro é o vetor b → , que é o vetor posição da curva. Concorda comigo que a área dessa curva pode ser entendida como a área dos triângulos formados por a → e b → ? Porque eles vão formar vários triangulinhos que compõem a curva, sacou? Mas a área do triângulo formado por dois vetores a gente acha assim:

d S = 1 2 b → × d a →

E então,

S = 1 2 b → × a →

b → × a → = 2 S

Mas o vetor área tem a mesma direção que o vetor normal ao plano da curva, porque ele foi gerado por um produto vetorial de dois vetores da curva. Então:

S → = S n ^

Daí,

a → × b → = 2 S n →

Passo 2

Se liga: se a gente pegar um vetor S → qualquer em relação a uma das faces, a gente pode pegar um vetor oposto a ele, - S → , na face oposta! Por isso, se a → e b → compõem uma face F 1 do tetraedro, as outras faces vão ser formadas pelos vetores:

F 2 : a → e - b → ;

F 3 : - a → e b →

F 4 : - a → e - b →

Sacou? Os vetores então vão ser:

S 1 → = a → × b → 2

S 2 → = a → × ( - b → ) 2

S 3 → = - a → × b → 2

S 4 → = - a → × ( - b → ) 2

Somando todas, vamos encontrar:

∑ S → = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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