Enunciado

Um oscilador não amortecido de massa m e frequência própria ω 0 move-se sob a ação de uma força externa F = F 0 sen ⁡ ω t , partindo da posição de equilíbrio com velocidade inicial nula. Ache o deslocamento x t .

Passo 1

Vamos lembrar da equação diferencial de um oscilador harmônico simples.

Começamos com a segunda lei de Newton descrevendo uma força restauradora qualquer:

m x ¨ = - k x

E definimos ω 0 2 = k / m , então:

x ¨ = - ω 0 2 x

Se além da força restauradora nós temos uma força externa F t , a equação fica da seguinte forma:

x ¨ + ω 0 2 x = F 0 m sen ⁡ ω t

A solução homogênea da EDO (desconsiderando o termo da força externa) é a que já conhecemos bem para o oscilador harmônico:

x h t = A sen ⁡ ω 0 t + ϕ  

Mas agora precisamos achar uma solução não homogênea.

Passo 2

Como temos uma função trigonométrica do outro lado da equação, vamos chutar a seguinte solução particular:

x p t = B sen ⁡ ω t

Cuidado, esse ω é a mesma frequência da força externa, mas é diferente da frequência natural ω 0 do oscilador.

Substituindo isso na EDO, ficamos com o seguinte:

- ω 2 B sen ⁡ ω t + ω 0 2 B sen ⁡ ω t = F 0 m sen ⁡ ω t

Então:

B = F 0 m ω 0 2 - ω 2

E a solução particular é:

x p t = F 0 m ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t

Agora vamos juntar as duas soluções que encontramos para determinar a solução geral:

x t = x h t + x p t

x t = A sen ⁡ ω 0 t + ϕ + F 0 m ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t

Passo 3

Agora vamos impor as condições iniciais que foram dadas no enunciado:

x 0 = 0 x ˙ 0 = 0

Começando pela primeira:

x 0 = A sen ⁡ ϕ + F 0 m ω 0 2 - ω 2 0 = 0

A sen ⁡ ϕ = 0           ⇒           ϕ = 0

Para aplicar a segunda condição, primeiro nós precisamos derivar x t :

x t = A sen ⁡ ω 0 t + F 0 m ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t

x ˙ t = A ω 0 cos ⁡ ω 0 t + ω F 0 m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

Agora vamos fazer x ˙ 0 = 0 :

x ˙ 0 = A ω 0 + ω F 0 m ω 0 2 - ω 2 = 0

A = - ω ω 0 F 0 m ω 0 2 - ω 2

Passo 4

Agora vamos substituir tudo isso na solução geral:

x t = A sen ⁡ ω 0 t + ϕ + F 0 m ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t

x t = - ω ω 0 F 0 m ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω 0 t + ϕ + F 0 m ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t

x t = F 0 m ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t - ω ω 0 sen ⁡ ω 0 t + ϕ

Resposta

O deslocamento é dado por x t = F 0 m ω 0 2 - ω 2 sen ⁡ ω t - ω ω 0 sen ⁡ ω 0 t + ϕ .

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