Enunciado

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Qual seria a altura da atmosfera se a massa específica do ar (a) fosse uniforme e (b) diminuísse linearmente até zero com a altura? Suponha que ao nível do mar a pressão do ar é 1,0   a t m e a massa específica do ar é 1,3   k g / m ³ .

Passo 1

Falaaa galerinha bonita, tudo beleza?

Primeiramente, precisamos lembrar que a pressão de um fluido em repouso varia (entre dois pontos   1 e 2 no interior de um fluido de densidade ρ ) de acordo com a posição vertical:

p 2 = p 1 + ρ g ( y 2 - y 1 )

Passo 2

Tomando y 1 localizado na superfície da terra onde p 1 = 1,01 × 10 5   Pa   e y 2   no topo da atmosfera onde p 2 = 0 , sabendo que ρ = 1,3   kg/m³ , temos:

y 2 - y 1 = p 1 ρ g

y 2 - y 1 = 1,01 × 10 5 P a 1,3   kg/m³ × 9,8   m/s²

y 2 - y 1 = 7,9 × 10 3   m

Portanto:

y 2 - y 1 = 7,9   k m  

Passo 3

Iradoso, agora a gente pode considerar h como sendo a altura da atmosfera. Como a densidade varia com a altitude em cada ponto ao longo da vertical, precisamos realizar a seguinte integração:

p 2 = p 1 - ∫ 0 h ρ g d y

O raciocínio por trás dessa integral advém da análise infinitesimal da variação de pressão. Considerando dois níveis separados de uma distância d y , a pressão entre eles varia de forma infinitesimal:

p 2 - p 1 = d p = ρ g d y

Pois bem, a soma dessas infinitas contribuições de pressão d p representa a integral acima.

Passo 4

Aqui, precisamos utilizar outro resultado: o fato de que ρ = ρ 0 × 1 - y h   . Com isso, a integral pode ser assim reescrita:

p 2 = p 1 - ∫ 0 h ρ 0 g 1 - y h d y

p 2 = p 1 - 1 2 ρ 0 g h

Como p 2 (pressão acima da atmosfera) é nula, temos:

h = 2 p 1 ρ 0 g

h = 2 1,01 × 10 5 P a 1,3 kg/m³ × 9,8   m/s²

h = 16   km

Resposta

  1. 7,9   km
  2. 16   km

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