Enunciado

Um sinal luminoso que, partindo de um ponto O ’ de um referencial ( S ’ ), se reflete num espelho à distância   y ’ de O ’ e volta para O ’ , pode ser considerado como um relógio que marca intervalos de tempo Δ t ’ correspondentes à ida e volta do sinal (fig.). Suponha que ( S ’ ) se desloca em relação a ( S ) com velocidade V na direção de x ’ e calcule o intervalo de tempo correspondente Δ t em ( S ), admitindo o princípio da constância da luz. Mostre que o resultado equivale à dilatação dos intervalos de tempo da relatividade restrita.

Passo 1

Cada observador verá a seguinte trajetória do sinal luminoso:

Passo 2

Para o observador em O ' , o sinal luminoso viaja em uma linha reta. O intervalo de tempo do sinal luminoso é dado por:

Δ t ' = 2 y ' c

Contudo, para um observador em O , o sinal percorre a trajetória mostrada no desenho e o intervalo de tempo será:

Δ t = 2 L c

Passo 3

Pelo desenho podemos L e y ' usando Pitágoras.

L 2 = y ' 2 + V Δ t 2 2

L = y ' 2 + V Δ t 2 2

Passo 4

Substituindo teremos:

Δ t = 2 c y ' 2 + V Δ t 2 2

Δ t 2 = 4 c 2 y ' 2 + V Δ t 2 2

1 - V 2 c 2 Δ t 2 = 4 c 2 y ' 2

Δ t 2 = 1 1 - V 2 c 2 4 c 2 y ' 2

Δ t = 1 1 - V 2 c 2 2 y ' c

Δ t = γ 2 y ' c

Passo 5

Como sabemos o intervalo de tempo no referencial O ' , podemos relacionar:

Δ t = γ Δ t '

que é a dilatação temporal.

Resposta

Δ t = γ 2 y ' c

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