Enunciado

Em um sistema binário de estrelas, duas estrelas descrevendo órbitas circulares em torno de se centro de massa comum. Se as estrelas possuem massas m 1 e m 2 e estão separadas por uma distância r , mostre que o período de rotação está relacionado a r através de T 2 = 4 π 2 r 3 / [ G ( m 1 + m 2 ) ] .

Passo 1

Como queremos o T 2 , vamos fazer o seguinte:

T = 2 π ω → T 2 = 4 π 2 ω 2

Passo 2

Agora precisamos relacionar o ω . Vamos usar a lei da gravitação para isso!

F g r a v = G m 1 m 2 r 1 + r 2 2

Como a resultante é centrípeta, temos o seguinte:

F g r a v = G m 1 m 2 r 1 + r 2 2 = m 2 ω 2 r 2

Repara que eu fiz para a estrela 2, mas podíamos usar a 1 que ia dar no mesmo 😉

ω 2 = G m 1 r 1 + r 2 2 r 2

Agora precisamos sumir com esse r 2 . Então vamos usar o centro de massa para isso.

r = r 1 + r 2

Fazendo as relação com o CM:

m 1 r 1 = m 2 r 2

Agora ta mais fácil de colocar o r 2 em função de r .

m 1 r - r 2 = m 2 r 2

Logo,

r 2 = m 1 r m 1 + m 2

Passo 3

Agora vamos juntar tudo!

ω 2 = G m 1 r 1 + r 2 2 r 2

Usando a relação do r 2 :

ω 2 = G m 1 r 1 + r 2 2 ⋅ ( m 1 r m 1 + m 2 ) = G ⋅ m 1 + m 2 r 1 + r 2 2 ⋅ r

Como r = r 1 + r 2 :

ω 2 = G ⋅ m 1 + m 2 r 3

Pra finalizar vamos achar o período!

T 2 = 4 π 2 ω 2 = 4 π 2 r 3 G ⋅ m 1 + m 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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