Enunciado

No Exemplo 13-3, uma força de 150 N é aplicada sobre um pistão pequeno para levantar um carro que pesa 15000 N. Demonstre que isto não viola a lei de conservação da energia mostrando que, quando o carro é elevado de uma distância h, o trabalho realizado pela força de 150 N que atua sobre o pistão pequeno é igual ao trabalho realizado sobre o carro pelo pistão grande.

Passo 1

Fala, querido! Vamos lembrar do que o exemplo 13-3 falava. Tínhamos um elevador hidráulico. No pistão maior, de raio 20   c m , tínhamos um carro que pesava 15   000   N , e para levantar esse carro, teríamos que aplicar uma força de 150   N no pistão menor de raio igual a 2   c m .

Desenhando a situação:

O enunciado quer que a gente prove que esse resultado não viola a conservação de energia, mostrando que o trabalho realizado pelas forças é igual. Aqui, vamos usar o conceito de trabalho realizado por uma força, ou seja:

W = F . d e s l o c a m e n t o

Neste caso, para suspender o carro de uma altura h , a força que está sendo aplicada pelo fluído no pistão maior e que vale F m a i o r = 15   000 N , deve produzir o trabalho

W m a i o r = 15   000 h

A ideia aqui é a gente provar que o trabalho realizado pela força menor F m e n o r = 150   N é o mesmo.

Vamos fazer isso usando o princípio de Pascal que foi usado no exemplo descrito. Vem ver como fica!

Passo 2

Bom, vamos lá! Pelo princípio de Pascal temos que a variação na pressão em um lado será igual para todos os pontos do fluindo, sendo assim a pressão no pistão maior é igual a pressão no pistão menor

P m e n o r = P m a i o r

Lembrando que:

P = F A

Podemos reescrever as pressões

F m e n o r A m e n o r = F m a i o r A m a i o r

Isolando a força menor, da qual a gente quer descobrir o trabalho

F m e n o r = F m a i o r A m a i o r . A m e n o r

Passo 3

Agora, quando nós temos um fluido incompressível em um ambiente fechado, ao deslocar o volume de um dos lados, consequentemente, o outro lado terá a mesma variação:

V m e n o r = V m a i o r

Lembrando que:

V = A . h

A m e n o r .   h m e n o r = A m a i o r .   h m a i o r

Isolando a altura menor, que vai ser o deslocamento da força menor:

h m e n o r =   h m a i o r . A m a i o r A m e n o r

Passo 4

Falta pouco! Já sabemos a fórmula do trabalho:

W = F . d e s l o c a m e n t o

Então para a força menor:

W m e n o r = F m e n o r . h m e n o r

Substituindo as expressões que achamos para F m e n o r e h m e n o r :

W m e n o r = A m e n o r A m a i o r . F m a i o r . h m a i o r . A m a i o r A m e n o r

W m e n o r = F m a i o r . h m a i o r

Agora lembra que F m a i o r é 15000   N e o deslocamento do pistão maior é h :

W m e n o r = 15000 h

E isso é exatamente igual a expressão que achamos para o trabalho da força menor 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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