Enunciado

Um sistema possui duas partículas. No instante t = 0   uma das partículas está na origem; a outra, com massa igual a 0,50   k g , está sobre o eixo O y no ponto   y = 6,0   m . Para   t = 0 , o centro de massa do sistema está sobre o eixo O y no ponto y = 2,4   m . A velocidade do centro de massa do sistema é dada por ( 0,75   m / s ³ ) t ² î .

a) Calcule a massa total do sistema.

b) Ache a aceleração do centro de massa em função do tempo.

c) Calcule a força externa resultante que atua sobre o sistema no instante t = 3,0   s .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar (a) a massa total do sistema, (b) a aceleração do centro de massa em função do tempo e (c) a força externa resultante que atua sobre o sistema no instante t = 3,0   s .

Para encontrarmos a massa total do sistema, temos que somar as massas m A e m B das partículas A e B , respectivamente. Pra isso, usaremos o centro de massa ( 0 ;   2,4 ) dado pelo enunciado, assim como as coordenadas de cada partícula, para obter a massa total através da equação:

y c m = m A . y A + m B . y B m A + m B

Depois, vamos obter a aceleração do centro de massa, derivando a expressão da velocidade do centro de massa dado pelo enunciado:

a → c m = d d t v → c m

Por fim, vamos encontrar a força externa resultante que atua sobre o sistema, usando a segunda lei de Newton na forma:

∑ F → e x t = M . a → c m

Onde M é a massa total do sistema e a → c m é a aceleração do seu centro de massa.

Vamos lá!

Passo 2

a) Então galera, para resolvermos esse problema aqui, nada de novo também! Essa primeira letra pede para que encontremos m A + m B , certo? Se utilizarmos a equação que o Young nos apresenta para calcularmos o centro de massa em y do sistema, teremos:

y c m = m A . y A + m B . y B m A + m B

No qual:

m A = ? = massa da primeira partícula;

m B =   0,50   k g =   massa da segunda partícula;

y A = 0   m = posição da primeira partícula no eixo y ;

y b = 6,0   m = posição da segunda partícula no eixo y ;

y c m = 2,4   m = posição do centro de massa do sistema.

Se substituirmos os valores cedidos pela questão, cujo significado de cada termo foi apresentado acima, teremos:

2,4 = m A . 0 + 0,50.6 m A + m B

m A + m B = 3 2,4

∴ m A + m B = 1,25   k g

E encontramos a massa total do sistema.

Passo 3

b) O enunciado nos cede o valor da velocidade do centro de massa em função do tempo, não é mesmo? Sendo assim, para descobrirmos a aceleração do centro de massa em função do tempo basta derivarmos a velocidade, se liga:

a → c m = d d t v → c m

Substituindo ( v → c m = 0,75   m / s ³ ) t ² î :

a → c m = d d t ( 0,75   m / s ³ ) t ² î

E derivando, temos:

a → c m = ( 2 ∙ 0,75 ∙ t ) î

∴ a → c m = ( 1,5   m / s ³ ) t î

Passo 4

c) Então galera, para calcularmos a força externa resultante que atua sobre o sistema todo, basta utilizarmos a segunda lei de Newton, olha só:

∑ F → e x t = M . a → c m

Substituindo os valores da massa total e aceleração calculadas anteriormente, junto com t =   3,0   s , teremos:

∑ F → e x t = 1,25 ∙ ( 1,5   m / s ³ ) t î

∑ F → e x t = 1,25 ∙ 1,5   m / s ³ . ( 3 ) î

E encontramos a força resultante:

∴ ∑ F → e x t = 5,6   N î

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) m A + m B = 1,25   k g

b) a → c m = ( 1,5   m / s ³ ) t î

c) ∑ F → e x t = 5,6   N î

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