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(a) Qual é a velocidade de escape de um asteroide esférico cujo raio é 500   k m e cuja aceleração gravitacional na superfície é 3,0   m / s 2 . (b) Que distância da superfície uma partícula atinge se deixar a superfície do asteroide com uma velocidade vertical de 1000   m / s . (c) Com que velocidade um objeto se chocaria com o asteroide se fosse liberado sem velocidade inicial 1000   k m acima da superfície.

Passo 1

(a) Queremos encontrar a velocidade de escape, ou seja, a velocidade que permite que um corpo escape do campo gravitacional de um asteroide.

Em primeiro lugar, vamos olhar para a fórmula da velocidade de escape:

v e s c a p e = 2 g R

Onde R é o raio do corpo em questão, e g é a aceleração da gravidade na superfície desse corpo. Os dois valores já foram dados no enunciado, mas o raio R está em k m .

Convertendo o raio para metros:

R = 500   km

R = 500 × 10 3   m

Substituindo na fórmula obtemos:

v e s c a p e =   2 g R

v e s c a p e = 2 × 3,0 × 500 × 10 3

v e s c a p e = 3000 × 10 3 ≅ 1732,0508   m/s    

No enunciado os números foram dados com, no mínimo, dois algarismos significativos, então vamos escrever:

v e s c a p e ≅ 1732,0508   m/s

v e s c a p e =   1,7 × 10 3   m/s

Ou em km/s :

v e s c a p e = 1,7   km/s

Passo 2

(b) Agora queremos saber até que altura a partícula vai se atirarmos ela pra cima a 1000   m / s a partir da superfície.

Conforme a partícula sobe, ela “transforma” energia cinética em energia potencial gravitacional! Então pela lei de conservação de energia, temos:

K i n i c i a l + U i n i c i a l = K f i n a l + U f i n a l

Sabemos que K = m v 2 2 e U =   - G M m R , além disso, a altura máxima é atingida quando toda a energia cinética já “virou” energia potencial, ou seja, quando K f i n a l = 0 . Logo:

m v i n i c i a l 2 2 - G M m R i n i c i a l = - G M m R f i n a l

Onde M é a massa do asteroide e m é a passa da partícula. De cara podemos cortar a massa m , pois ela aparece em todos os termos:

v i n i c i a l 2 2 - G M R i n i c i a l = - G M R f i n a l

A equação não parece muito amigável, pois não temos M . Mas... O enunciado nos dá a aceleração g da gravidade na superfície, g = 3,0   m/ s 2 .

Vamos ver a fórmula para a aceleração da gravidade na superfície de um corpo:

g =   G M R 2

Podemos reescrever isso como:

G M =   g R 2

E voltando à nossa lei de conservação:

v i n i c i a l 2 2 - g R 2 R i n i c i a l = - g R 2 R f i n a l

Lembre que lançamos o objeto a partir da superfície, então R i n i c i a l é simplesmente o raio do asteroide: R i n i c i a l = R . E o R f i n a l é o que queremos descobrir:

v i n i c i a l 2 2 - g R = - g R 2 R f i n a l

R f i n a l   .   v i n i c i a l 2 2 - g R = - g R 2

Substituindo os valores e isolando o que queremos encontrar:

R f i n a l = - 3,0   .   500   .   10 3 2 1000 2 2 - 3,0   .   500   .   10 3

R f i n a l =   - 7,5 × 10 11 - 1 × 10 6

R f i n a l = 7,5 × 10 5   m

Essa é a distância da partícula até o centro do asteroide, mas queremos a distância d até a superfície. Para isso basta fazer:

R f i n a l = R + d

d =   R f i n a l - R

Logo:

d = 7,5 × 10 5 - 500 × 10 3

d = 7,5 - 5,0 × 10 5

d = 2,5 × 10 5   m

Passo 3

(c) Por fim, queremos saber a que velocidade um objeto chegaria ao chão se fosse solto a 1000   k m = 10 6   m da superfície do meteoro.

Novamente, precisaremos da lei de conservação de energia!

K i n i c i a l + U i n i c i a l = K f i n a l + U f i n a l

Como o objeto é solto sem velocidade inicial, temos K i n i c i a l = 0 . Para manter a mesma lógica dos itens anteriores ficamos com:

- G M m     R + 10 6 = m v f i n a l 2 2 - G M m     R

Cortando a massa m :

- G M     R + 10 6 =   v f i n a l 2 2 - G M       R

Fazendo a mesma substituição de antes G M =   g R 2

- g R 2     R + 10 6 =   v f i n a l 2 2 - g R

Isolando o que queremos encontrar e colocando g R em evidência

2 g R   .   1 - R     R + 10 6 =   v f i n a l 2

Assim:

2   .   3,0   .   500   .   10 3 . 1 - 500   .   10 3     500   .   10 3 + 10 6 =   v f i n a l 2

  v f i n a l 2 = 3   .   10 6   1 - 0,5 × 10 6     0,5 × 10 6 + 10 6 = 3   .   10 6   1 - 0,5 × 10 6     1,5 × 10 6 = 2 × 10 6

v f i n a l = 2 × 10 6    

Portanto:

v f i n a l ≅ 1,4 × 10 3   m/s

Ou em km/s :

v f i n a l ≅ 1,4   km /s

Resposta

(a) v e s c a p e = 1,7   km/s

(b)   d =   2,5 × 10 5   m

(c) v f i n a l = 1,4   km/s

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