Enunciado

Quando o Sol nasce ou se põe, ele parece estar no horizonte, porém, na realidade ele está abaixo do horizonte. A explicação para esse aparente paradoxo é que a luz se encurva ligeiramente quando penetra na atmosfera terrestre, como indicado na Figura 33.53. Como temos a percepção de que a luz se propaga sempre em linha reta, intuímos que ela provenha de um ponto situado em uma posição aparente que forma um ângulo Δ   acima da posição real do Sol. a) Suponha. para simplificar, que a atmosfera tenha uma densidade uniforme e, portanto, um indice de refração n constante, e que ela se estenda até uma altura h acima da superficie terrestre, onde se interrompe abruptamente. Mostre que o ângulo Δ   é dado por

δ = arcsen ⁡ n R R + h - arcsen ⁡ R R + h

onde R = 6378   k m é o raio da Terra. b) Calcule Δ usando n = 1,0003 e h = 20   k m . Como esse resultado se compara com o raio angular do Sol, que é aproximadamente igual a um quarto de grau? (Na verdade, um raio de luz do Sol encurva-se gradualmente, e não abruptamente, visto que o índice de refração da atmosfera varia gradualmente com a altura.)

Passo 1

Vamos desenhar o caminho que um raio faz para entrar na atmosfera e vamos marcar alguns ângulos importantes.

Vamos aplicar a lei de snell na interface vácuo-atmosfera.

n v sen ⁡ θ a = n a t m sen ⁡ θ b

1 sen ⁡ θ a = n a t m sen ⁡ θ b

Olhando para a figura, percebemos que:

sen ⁡ θ b = R R + h

Então:

1 sen ⁡ θ a = n a t m sen ⁡ θ b

sen ⁡ θ a = n a t m R R + h

θ a = a r c s e n n a t m R R + h

Pela figura, também vemos que: δ = θ a - θ b

δ = a r c s e n n a t m R R + h - a r c s e n R R + h

Show!!

Bora pra próxima!

Passo 2

b)

vamos substituir os valores que o enunciado deu:

θ a = a r c s e n n a t m R R + h

θ a = a r c s e n 1,0003 6378 6378 + 20

θ a = 85,69 °

θ b = a r c s e n R R + h

θ b = a r c s e n 6378 6378 + 20

θ b = 85,47 °

Então

δ = θ a - θ b

δ = 0,22 °

Como 1 / 4 de grau corresponde à 0,25 ° , temos que δ corresponde a, aproximadamente, ao raio angular do Sol.

Resposta

a)demonstração

b) δ = 0,22 °

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