Enunciado

Um solenóide é feito com um fio de cobre com 2,0   m m de diâmetro. O solenóide tem raio de 1,0   c m , 40 espiras e 8,0   c m de comprimento. Um circuito fechado envolvendo o solenóide e um capacitor tem frequência de ressonância de 30   M H z . Calcule:

a) a indutância e a resistência do solenoide;

b) a capacitância do capacitor;

c) o Q do circuito.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

O item (a) não envolve circuito, ele está mais relacionado com resistência de fios e indutância de solenoides! A resistência de um fio é

R = ρ l A

O comprimento total do fio será dado por

l = N ⋅ 2 π r s o l

Já a área da seção do fio é

A = π r f i o 2

Com isso,

R = 2 ρ N r s o l r f i o 2

Na tabela 20.1 do livro, achamos que a resistividade do cobre é ρ = 1,68 ⋅ 10 - 8   Ω m . Usando N = 40 , r s o l = 1,0   c m = 1,0 ⋅ 10 - 2   m e r f i o = 1,0   m m = 1,0 ⋅ 10 - 3   m , temos que

R = 2 ⋅ 1,68 ⋅ 10 - 8 ⋅ 40 ⋅ 1,0 ⋅ 10 - 2 1,0 ⋅ 10 - 3 2

Fazendo as contas, achamos

R = 1,3 ⋅ 10 - 3   Ω

Passo 2

Para achar a indutância, escrevemos a expressão do fluxo magnético sobre o solenoide:

Φ B = N B A = N B ⋅ π r s o l 2

O campo dentro do solenoide é

B = μ 0 N I l s o l

Com isso,

Φ B = μ 0 N 2 π r s o l 2 l s o l I

Como Φ B = L I , segue que

L = μ 0 N 2 π r s o l 2 l s o l = 4 π ⋅ 10 - 7 ⋅ 40 2 ⋅ π ⋅ 1,0 ⋅ 10 - 2 2 8,0 ⋅ 10 - 2

Fazendo as continhas:

L = 7,9 ⋅ 10 - 6   H

Passo 3

Para um circuito RLC, a frequência natural é

ω 0 = 1 L C

Para que haja ressonância, a frequência externa deve ser igual a frequência natural, de modo que

2 π f = 1 L C → C = 1 4 L π 2 f 2

Substituindo os valores:

C = 1 4 ⋅ 7,9 ⋅ 10 - 6 ⋅ 3,14 2 ⋅ 30 ⋅ 10 6 2

Fazendo as contas:

C = 3,6 ⋅ 10 - 12   F

Passo 4

O fator de mérito é dado por

Q = ω 0 γ ,

onde γ = R / L . Assim,

Q = 1 L C R L = L R L C = 1 R L C

Substituindo os valores:

Q = 1 1,3 ⋅ 10 - 3 7,9 ⋅ 10 - 6 3,6 ⋅ 10 - 12

Desta forma,

Q = 1,1 ⋅ 10 5

Resposta

R = 1,3 ⋅ 10 - 3   Ω

L = 7,9 ⋅ 10 - 6   H

C = 3,6 ⋅ 10 - 12   F

Q = 1,1 ⋅ 10 5

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