Enunciado

Um solenoide longo tem 100   e s p i r a s / c m e conduz uma corrente i . Um elétron se move no interior do solenoide em uma circunferência 2,30   c m de raio perpendicular ao eixo do solenoide. A velocidade do elétron é 0,0460 c ( c é a velocidade da luz). Determine a corrente i no solenoide.

Passo 1

Fala aí! tudo certinho? 😉

O campo magnético dentro do solenoide é calculado através da lei de Àmpere, traçando uma amperiana retangular como demonstrado na figura abaixo.

Escrevemos ∮ B . d S como a soma de quatro integrais, uma para cada segmento da amperiana:

∮ B . d S = ∮ a b B → . d S → + ∮ b c B → . d S → + ∮ c d B → . d S → + ∮ d a B → . d S →

A primeira integral do lado direita é B h , onde B é o módulo do campo uniforme B → no interior do solenoide e h é o comprimento (arbitrário) do segmento a b .

A segunda e a quarta integral são nulas porque, para os elementos d s desses segmentos, B → é perpendicular a d s ou é zero e, portanto, o produto escalar B → . d S → é zero.

A terceira integral, que envolve um segmento do lado de fora do solenoide também é nula porque B = 0 em todos os pontos do lado de fora do solenoide.

Assim, o valor de ∮ B → . d S → para toda a amperiana é B h .

Veja só!

Passo 2

Acorrente total i e n v envolvida pela amperiana retangular não é igual à corrente i nas espiras do solenoide porque as espiras passa mais de uma vez pela amperiana. Seja n o número de espiras por unidade de comprimento do solenoide, nesse caso, a amperiana envolve n h espiras e, portanto,

i e n v = i ( n h )

De acordo com a lei de Àmpere:

B h = μ o i n h B = μ o i n = μ o i N l N = B l μ o i

Como o raio da órbita do elétron é:

r = m v e B = m v e μ o n i

Teremos o seguinte valor para a corrente:

i = m v e μ o n r

Substituindo os valores do enunciado sendo m a massa do elétron, v a velocidade do elétron, e sua carga, μ 0 a permissividade magnética do vácuo, n o numero de espiras por metro e r o raio da espira...

i = 9,11 × 10 - 31   k g 0,0460 3,00 × 10 8 m s 1,60 × 10 - 19   C 4 π × 10 - 7   T . m A 100 0,0100 m 2,30 × 10 - 2   m i = 0,272   A E aí! o que achou? Responde Aí! 😊

Resposta

A corrente que passa pelo solenoide é:

i = 0,272   A

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