Enunciado

Por que somos bombardeados por múons? Múons são partículas subatômicas instáveis que sofrem decaimento e se transformam em elétrons com uma vida média de 2,2   μ s . Eles são

gerados quando raios cósmicos bombardeiam as camadas superiores da atmosfera, a cerca de 10   k m acima da superfície da Terra, e deslocam-se com uma velocidade muito próxima à da luz. O problema que gostaríamos de discutir é por que vemos múons na superfície da Terra. a) Qual é a maior distância que um múon poderia percorrer durante a sua vida média de 2,2   μ s ? b) De acordo com a sua resposta à parte (a), seria de imaginar que os múons nunca chegariam à superfície. Mas a vida média de 2,2   μ s é medida no sistema do múon, e múons se movem muito rápido. A uma velocidade de 0,999 c , qual é a vida média de um múon em referência a

um observador em repouso na Terra? Que distância o múon percorreria nesse tempo? Esse resultado explica por que encontramos múons em raios cósmicos? c) Do ponto de vista do múon, ele continua vivendo apenas durante 2,2   μ s então como ele alcança o solo? Qual é densidade dos 10   k m de atmosfera que o múon precisa atravessar, em relação ao múon? Está claro agora como o múon consegue chegar ao solo?

Passo 1

letra a)

A maior distância que um múon pode poder percorrer é se ele tiver velocidade igual a da luz. Logo:

d = v t = c t

d = 3 ⋅ 10 8 2,2 ⋅ 10 - 6

d = 660   m

Passo 2

letra b)

Para um observador em repouso na Terra, a vida média do múon irá sofrer uma dilatação temporal, ou seja:

Δ t = γ Δ t '

Δ t = 1 1 - v 2 c 2 Δ t '

Δ t = 1 1 - 0,999 c 2 c 2 2,2 ⋅ 10 - 6

Δ t = 4,9 ⋅ 10 - 5   s

Passo 3

A distância que ele percorreria seria:

d = v t

d = 0,999 3 ⋅ 10 8 4,9 ⋅ 10 - 5

d = 15000   m

No referencial da Terra, o múon pode percorrer 15   k m na atmosfera. Por isso o encontramos em raios cósmicos.

Passo 4

letra c)

Queremos agora saber quando vale a distância de 10   k m para o múon.

Para o múon, o comprimento irá contrair, ou seja:

l = l o γ

l = 1 - v 2 c 2 l o

l = 1 - 0,999 c 2 c 2 10000

l = 450   m  

Passo 5

No referencial do múon, a altura da atmosfera é menor que a distância que ele se move durante sua vida útil.

Resposta

letra a) d = 660   m

letra b) Δ t = 4,9 ⋅ 10 - 5   s , d = 15000   m , Sim.

letra c) l = 450   m  

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