Enunciado

Suponha que o ângulo do vértice superior do prisma de vidro da fig 33-53 seja ϕ = 60 ° e que o índice de refração do vidro seja n = 1,6 . (a) Qual é o menor ângulo de incidência θ para o qual um raio pode entrar na face esquerda do prisma e sair na face direita? (b) Qual deve ser o ângulo de incidência θ para que o raio saia do prisma com o mesmo ângulo θ com que entrou, como na fig 33-53?

Passo 1

(a) Seja A o ponto de entrada no prisma do raio luminoso (o ponto onde o raio encontra a superfície esquerda do prisma), de B o vértice superior do prisma e de C o ponto de saída do raio. Vamos chamar de β o ângulo entre a reta AB e a direção do raio no interior do prisma (o complemento do ângulo de refração na primeira superfície) e de α o ângulo entre a reta BC e a direção do raio no interior do prisma ( o complemento do ângulo de incidência na segunda superfície). Quando o ângulo do raio incidente tem o menor valor necessário para que a luz saia do prisma, o ângulo de incidência na segunda superfície é o ângulo crítico para reflexão interna total e o ângulo de refração na segunda superfície é 90 graus. Seja θ 1 o ângulo de incidência na segunda superfície. Pela Lei de Snell temos:

n s e n θ 3 = 1 ⇒ s e n θ 3 = 1 1,6 = 38,68 °

Devido à soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, temos que

α + β = 120 ⇒ β = 120 - 51,32 = 69,68 °

Assim θ 2 = 90 - 69,68 = 21,32 ° .

Aplicando a Lei de Snell na primeira superfície, temos:”

s e n θ 1 = n s e n θ 2 ⇒ θ 1 = 35,6 °

Passo 2

(b) O ângulo de saída é igual ao ângulo de entrada, assim temos

n s e n θ 3 = s e n θ 1

Temos, de acordo com item (a)

θ 2 + θ 3 = 60

Logo temos

s e n θ 1 = n s e n 60 - θ 2

Conhecendo a relação trigonométrica do seno da diferença temos:

s e n θ 1 = n s e n 60 ⋅ c o s θ 2 - n c o s 60 ⋅ s e n θ 2

Pela Lei de Snell na primeira superfície temos

s e n θ 2 = 1 n s e n θ 1 ⇒ c o s θ 2 = 1 - 1 n 2 s e n 2 θ 1

Isolando s e n θ 1 temos que

s e n θ 1 = n s e n 60 1 + c o s 60 2 + s e n 2 60 = 1,6 s e n 60 1 + c o s 60 2 + s e n 2 60 = 0,8

Aplicando a função inversa do seno obtemos que θ 1 = 53,1 °

Resposta

a) O ângulo procurado é   35,6 °

b) O ângulo de incidência deve ser θ = 53,1 ° .

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