Enunciado

Na Fig. 33-78, em que n 1   =   1,70 ,   n 2 = 1,50 e n 3 = 1,30 , a luzé refratada do material 1 para o material 2. Se a luz incide no ponto A com o ângulo crítico da interface dos materiais 2 e 3, determine (a) o ângulo de refração no ponto B e (b) o ângulo inicial θ . Se, em vez disso, a luz incide no ponto B com o ângulo crítico da interface dos materiais 2 e 3, determine (c) o ângulo de refração no ponto A e (d) o ângulo inicial θ . Se, em vez disso, a luz incide no ponto A com o ângulo de Brewster para a interface entre os materiais 2 e 3 , determine (e) o ângulo de refração no ponto B e (f) o ângulo inicial θ .

Passo 1

E aí meus caros(as)! Bora agora pra questão 106!

No primeiro item, a gente tem que descobrir o ângulo de refração no ponto B !

a) Pois muito bem! Se liga! A gente tem que o ângulo de incidência θ B , 1 no ponto B é o complemento do ângulo de incidência no ponto A, que por sua vez é o ângulo crítico...

Logo, com base na figura acimo, temos que...

sen ⁡ θ B , 1 = cos ⁡ θ c = 1 - n 3 n 2 2

E assim, o ângulo de refração θ B , 2 no ponto B será dado pela expressão abaixo...

θ B , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 n 3 sen ⁡ θ B , 1

θ B , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 n 3 1 - n 3 n 2 2  

θ B , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 2 n 3 2 1 - n 3 2 n 2 2

θ B , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 2 n 3 2 - 1

θ B , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 n 3 2 - 1

Onde substituindo os valores numéricos...

θ B , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 n 3 2 - 1

θ B , 2 = sen - 1 ⁡ 1,50 1,30 2 - 1

θ B , 2 = 35,1 °

Obtemos o ângulo de refração em B !

Passo 2

b) Em seguida, vamos tratar de obter o ângulo de incidência θ !

A gente consegue tirar a seguinte relação entre o ângulo de incidência θ e o ângulo crítico θ c :

n 1 sen ⁡ θ = n 2 sen ⁡ θ c

Só que sen ⁡ θ c pode ser escrito como:

sen ⁡ θ c = n 3 n 2

Logo, ficamos com:

n 1 sen ⁡ θ = n 2 sen ⁡ θ c

n 1 sen ⁡ θ = n 2 ⋅ n 3 n 2

sen ⁡ θ = n 3 n 1

θ = sen - 1 ⁡ n 3 n 1

Substituindo os valores numéricos:

θ = sen - 1 ⁡ 1,30 1,70

θ = 49,9 °

Conseguimos alcançar o nosso ângulo de incidência!

Passo 3

c) Seguindo em frente, vamos obter o ângulo de refração no ponto A , considerando que a luz incide no ponto B com o ângulo crítico da interface dos materiais 2 e 3!

O ângulo de incidência θ A , 1   no ponto A é o complemento do ângulo de incidência no ponto B, que, por sua vez, é o ângulo crítico... Ou seja:

sen ⁡ θ A , 1 = cos ⁡ θ c = 1 - n 3 n 2 2

E portanto, o ângulo de refração, θ A , 2 , no ponto A será de:

θ A , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 n 3 sen ⁡ θ A , 1

θ A , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 n 3 1 - n 3 n 2 2  

θ A , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 2 n 3 2 1 - n 3 2 n 2 2

θ A , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 2 n 3 2 - 1

θ A , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 n 3 2 - 1

Sendo assim...

θ A , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 n 3 2 - 1

θ A , 2 = sen - 1 ⁡ 1,50 1,30 2 - 1

θ A , 2 = 35,1 °

Passo 4

d) Quanto ao ângulo inicial de incidência θ ... Considerando a nova condição, temos que:

n 1 sen ⁡ θ = n 2 sen ⁡ θ A , 1

Só que do item anterior, sabemos que...

sen ⁡ θ A , 1 = 1 - n 3 n 2 2

Logo;

n 1 sen ⁡ θ = n 2 sen ⁡ θ A , 1

n 1 sen ⁡ θ = n 2 1 - n 3 n 2 2

n 1 sen ⁡ θ = n 2 2 - n 3 2

sen ⁡ θ = n 2 2 - n 3 2 n 1

θ = sen - 1 ⁡ n 2 2 - n 3 2 n 1

E então, substituindo os valores numéricos:

θ = sen - 1 ⁡ n 2 2 - n 3 2 n 1

θ = sen - 1 ⁡ 1,5 2 - 1,3 2 1,7

θ = 26,1 °

Obtemos o ângulo de incidência pra esse caso!

Passo 5

e) A partir desse quinto item, a situação agora é um pouco diferente. Temos que considerar que a luz incide no ponto A com o ângulo de Brewster para a interface entre os materiais 2 e 3 .

Bom! O ângulo de incidência θ B , 1   no ponto B é o complemento do ângulo de incidência no ponto A, que, por sua vez, é o ângulo de Brewster. Sendo assim, temos que:

sen ⁡ θ B , 1 = n 2 n 2 2 + n 3 2

E portanto, o ângulo de refração θ B , 2   no ponto B é:

θ B , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 n 3 ⋅ n 2 n 2 2 + n 3 2

θ B , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 2 n 3 n 2 2 + n 3 2

Sendo assim:

θ B , 2 = sen - 1 ⁡ n 2 2 n 3 n 2 2 + n 3 2

θ B , 2 = sen - 1 ⁡ 1,5 2 1,3 1,5 2 + 1,3 2

θ B , 2 = 60,7 °

Passo 6

f) Pra finalizar, falta obter o ângulo inicial θ !

Para fazer isso, bora usar a relação abaixo...

n 1 sen ⁡ θ = n 2 sen ⁡ θ B r e w s t e r

Onde...

sen ⁡ θ B r e w s t e r = n 3 n 2 2 + n 3 2

Desse modo, temos que...

n 1 sen ⁡ θ = n 2 sen ⁡ θ B r e w s t e r

n 1 sen ⁡ θ = n 2 n 3 n 2 2 + n 3 2

sen ⁡ θ = n 2 n 3 n 1 n 2 2 + n 3 2

θ = sin - 1 ⁡ n 2 n 3 n 1 n 2 2 + n 3 2

θ = sin - 1 ⁡ 1,5 ⋅ 1,3 1,7 1,5 2 + 1,3 2

θ = 35,3 °

Resposta

a)

θ B , 2 = 35,1 °

b)

θ = 49,9 °

c)

θ A , 2 = 35,1 °

d)

θ = 26,1 °

e)

θ B , 2 = 60,7 °

f)

θ = 35,3 °

da relação entre

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