Enunciado

Suponha que N elétrons possam ser colocados em duas configurações diferentes. Na configuração 1, todos os elétrons estão distribuídos uniformemente ao longo de um anel circular estreito de raio R. Na configuração 2, N - 1 elétrons estão distribuídos uniformemente ao longo do anel e o elétron restante é colocado no centro do anel.

(a) Qual é o menor valor de N para o qual a segunda configuração possui menor energia que a primeira?

(b) Para esse valor de N considere um dos elétrons do anel, e 0 . Quantos outros elétrons do anel estão mais próximos de e 0 que o elétron central?

Passo 1

Letra (a)

Primeiro, meu caro ou minha cara, vamos calcular a distância d entre pontos na circunferência separados por um ângulo θ :

Vamos pegar um triângulo ali dentro para conseguir calcular o d:

O ângulo vermelho vale θ / 2 . O seno dele é:

s e n θ 2   = d 2 R = d 2 R

Pronto, achamos o d:

d = 2 R s e n θ 2

Passo 2

Agora você vai ficar irritado comigo, mas não é culpa minha ☹. Você já sabe calcular a distância entre dois pontos na circunferência, né? Então sabe calcular a energia potencial entre eles:

U = K - e - e d = K e 2 2 R s e n θ 2 = K e 2 2 R ∙ 1 s e n θ 2

Só que não tem só dois pontos na circunferência. A energia potencial é a soma de todos os pares... sim, tem que usar essa fórmula que a gente achou váaaarias vezes. Quantas vezes, você pergunta? Tantas vezes quantos forem os pares. Se N for 6 teremos 6 2 = 15 pares (lembra de combinatória?). Então é só multiplicar por 15? Não, porque o ângulo muda. Por exemplo, se você pega duas cargas consecutivas, o θ vale um valor, mas se você pega duas cargas não consecutivas, o θ que vai na fórmula é outro. Então não tem fuga.

Vou te dar essa tabela com o valor da energia potencial para vários valores de N, para as duas configurações:

O número que aparece na tabela vai multiplicar esse termo: K e 2 2 R

Ou seja, uma circunferência com 10 elétrons, na configuração 1, tem energia:

U 1 10   e l é t r o n s = 38,62 K e 2 2 R

Olhando a tabela, a partir de 12 elétrons, a segunda configuração tem menor energia que a primeira. Na minha opinião, é uma questão totalmente desnecessária, mas...

Passo 3

Letra (b)

N = 12, certo? Certo. Vamos olhar para a configuração 2, porque é ela que tem um elétron no centro do disco. Então temos 11 elétrons na periferia do disco. Os elétrons mais próximos de e 0 (e que estão na periferia) estão a uma distância:

d = 2 R s e n 2 π 11 2 d = 2 R s e n π 11 ≈ 0,56 R

Estão mais próximos do que o do centro. Agora os próximos:

d = 2 R s e n 4 π 11 2 d = 2 R s e n 2 π 11 ≈ 1 , 1 R

Logo, estes estão mais longe de e 0 do que o elétron do centro. Então gente, só tem 2 elétrons na periferia que estão mais próximos de e 0 (um de cada lado) do que o elétron do centro

Resposta

Letra (a): N = 12

Letra (b): 2 elétrons

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