Enunciado

Suponha que os limites do espectro visível sejam fixados arbitrariamente em 430 e 680   n m . Calcule o número de ranhuras por milímetro de uma rede de difração em que o espectro de primeira ordem do espectro visível cobre um ângulo de 20,0 ° .

Passo 1

Vamos começar lembrando da relação que dá a posição angular dos máximos em uma rede de difração:

d sen ⁡ θ = m λ

Como estamos falando apenas da primeira ordem( m = 1 ) nesse problema, podemos escrever o seguinte:

λ = d sen ⁡ θ

Nosso objetivo aqui é achar o valor de d para que os comprimentos de onda λ 1 = 430   n m e λ 2 = 680   n m correspondam a ângulos separados por 20 ° .

Ou seja:

λ 1 = d sen ⁡ θ

λ 2 = d sen ⁡ θ + Δ θ

Onde Δ θ = 20 ° .

Passo 2

Vamos explorar um pouco a segunda expressão usando a seguinte identidade trigonométrica:

sen ⁡ ( a + b ) = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

Então:

λ 2 = d sen ⁡ θ cos ⁡ Δ θ + sen ⁡ Δ θ cos ⁡ θ

E agora vamos reescrever cos ⁡ θ usando a seguinte relação:

cos ⁡ θ = 1 - sen 2 ⁡ θ

Então:

λ 2 = d sen ⁡ θ cos ⁡ Δ θ + sen ⁡ Δ θ 1 - sen 2 ⁡ θ

Passo 3

Ok, agora vamos fazer mais algumas substituições, começando com:

λ 1 = d sen ⁡ θ         ⇒       sen ⁡ θ = λ 1 d

Então:

λ 2 = λ 1 cos ⁡ Δ θ + d sen ⁡ Δ θ 1 - λ 1 2 d 2

λ 2 = λ 1 cos ⁡ Δ θ + sen ⁡ Δ θ d 2 - λ 1 2

Agora vamos isolar a raiz quadrada nessa última equação:

λ 2 - λ 1 cos ⁡ Δ θ sen ⁡ Δ θ = d 2 - λ 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado e isolando d 2 , ficamos com:

λ 2 - λ 1 cos ⁡ Δ θ 2 sen 2 ⁡ Δ θ + λ 1 2 = d 2

Passo 4

Agora vamos substituir os valores numéricos para calcular d :

d = λ 2 - λ 1 cos ⁡ Δ θ 2 sen 2 ⁡ Δ θ + λ 1 2

d = 680 - 430 cos ⁡ 20 ° 2 sen 2 ⁡ 20 ° + 430 2

d ≅ 914   n m = 9,14   .   10 - 4   m m

E se as ranhuras estão separadas por 9,14   .   10 - 4   m m , o número de ranhuras por milímetro é:

n = 1 9,14   .   10 - 4 = 1,09   .   10 3

Resposta

A rede de difração deve ter 1,09   .   10 3 ranhuras por milímetro.

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