Enunciado

Suponha que você mantenha uma bola pequena em contato com uma bola grande diretamente sobre seu centro. Se você largar a bola pequena um pequeno intervalo de tempo após largar a bola grande, a bola pequena será rebatida para cima com uma velocidade surpreendente. Para exemplificar o caso extremo, despreze a resistência do ar e suponha que a bola grande faça uma colisão elástica com o solo, a seguir suba e colida elasticamente com a bola pequena que ainda está descendo. Imediatamente antes da colisão entre as duas bolas, a bola grande sobe com velocidade

, e a bola pequena está descendo com velocidade

. (Você sabe por quê?) Suponha que a bola grande possua massa muito maior do que a da bola pequena. a) Qual é a velocidade da bola pequena imediatamente depois da colisão com a bola grande? b) Usando a resposta do item (a), ache a razão entre a distância percorrida pela bola pequena quando ela retorna para cima e a distância que ela percorreu antes da colisão.

Passo 1

Beleza pessoal?! Espero que esteja tudo bem com meu os herdeiros de Newton. Vamos dar início a mais uma resolução com o padrão de qualidade do Responde aí, então pegue seu lápis, caderno e café e vamos nessa!!!

Deixe os subscritos A e B indicarem a bola pequena e a bola grande, respectivamente.

Suponha que o raio das bolas seja pequeno em comparação com sua altura inicial, então podemos ignorar a distância entre os dois centros, de modo que ambas as bolas caiam da mesma altura.

Seja o ponto 1, na altura inicial o ponto 2, no ponto de colisão entre as duas bolas e o ponto 3, na altura final da bolinha.

E seja +y para cima e −y para baixo.

Quando a grande bola cai de sua altura inicial, apenas a gravidade atua; Assim, a partir da conservação de energia, sua energia potencial gravitacional no ponto 1 é gradualmente convertida em energia cinética.

Assim ponto 2, temos:

U B 1 = K B 2 + U B 2

m g h 1 = 0.5 m B v B 2 ² + m B g h 2

v B 2 = 2 g ( h 1 - h 2 )

Agora, a bola continua sua queda no chão e rebote mudando sua direção para cima.

Mas, como a colisão com o solo é elástica, a bola não perde nada de sua energia cinética; Assim, quando atinge o ponto 2 novamente, tem a mesma energia cinética e a mesma energia potencial gravitacional quando desceu.

Portanto, ele tem a mesma velocidade, mas direção oposta.

Aplicando a conservação de energia à pequena bola, obtemos:

m A g h 1 = 0.5 m A v A 2 ² + m A g h 2

v A 2 = 2 g ( h 1 - h 2 )

Então, no ponto 2 e pouco antes da colisão das bolas, temos:

v A 2 = - v B 2

Passo 2

(a) Como a colisão entre as duas bolas é elástica, podemos usar as equações (1) e (2).

Então, da equação (2), obtemos:

( - v ) - v = v ' B 2 - v ' A 2

v B 2 = v A 2 - 2 v

m A ( - v ) + m B ( v ) = m A v A 2 + m B ( v A 2 - 2 v )

( m B - m A ) v = ( m A + m B ) v A 2

v A 2 = ( m B - m A m A + m B ) v

Passo 3

(b) Após a colisão entre as bolas, a bolinha rebate e sobe até parar em sua altura máxima h3​.

A partir da conservação da energia, a energia cinética é totalmente convertida em energia potencial gravitacional; Então nós temos:

U A 2 + K A 2 = U A 3

m A g h 2 + 0.5 m A ( v ' A 2 ) ² = m A g h 3

h 3 - h 2 = ( v ' A 2 ) ² 2 g

h 3 - h 2 = v ² 2 g ( m B - m A m A + m B ) ²

Seja d1​ a distância que a bola pequena cai antes da colisão com a bola grande e d2​ a distância do rebote após a colisão.

Então nós temos:

d 1 = h 1 - h 2

d 2 = h 3 - h 2 = v ² 2 g ( m B - m A m A + m B ) ²

( - v ) = 2 g d 1

d 1 = v ² 2 g

d 2 d 1 = v ² 2 g ( m B - m A m A + m B ) ² / v ² 2 g

r a z a o = ( m B - m A m A + m B ) ²

Resposta

  1. v A 2 = ( m B - m A m A + m B ) v
  2. ( m B - m A m A + m B ) ²

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