Enunciado

10 . || Suponha que você pudesse encolher a Terra sem alterar sua massa. A que fração de seu raio atual a aceleração de queda livre na superfície seria três vezes maior do que seu presente valor?

Passo 1

Esse capítulo se dedica a estudar gravitação, em especial para os corpos celestes. Tudo está relacionado através do que os físicos chamam Lei da gravitação universal basicamente temos que ter em mente que:

A lei da Gravitação universal diz:

“Se dois corpos possuem massa, ambos estão submetidos a uma força de atração mútua proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros de gravidade.”

Matematicamente:

F = G M 1 M 2 d 2

Só tome cuidado com o G , ele é a Constante Gravitacional Universal ( G = 6,67 ⋅ 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 ), ele não é a gravidade g que estamos acostumados!!

Passo 2

Você precisa conhecer alguns dados antes de resolver essa questão. Apesar deles não estar na questão, eles foram apresentados no livro texto desse capítulo, lembre-se:

Massa da Terra: 5,98 ⋅ 10 24 k g

Circunferência da Terra pelo Equador: 40.000.075   m

Raio da Terra aproximado: 6,37 ⋅ 10 6 m

g = 9,8 m / s 2

Passo 3

Nós usamos uma derivação da força de atração gravitacional, mas nós encontraremos aceleração dessa vez, não confunda com Força:

g = G M d 2

Onde:

g   = aceleração da gravidade

G = constante universal da gravitação

M = massa do corpo de origem do campo gravitacional

d ou ( h +   R ) = altura entre o objeto e a superfície do corpo celeste* + raio do corpo celeste em questão.

*Na superfície, h = 0 .

Então vamos considerar que o novo R tem que resultar 3 vezes a atual gravidade:

3 g = G M ( R ) 2

3 ⋅ 9.8 m / s 2 = ( 6,67 ⋅ 10 - 11 N ⋅ m 2 k g 2 ) 5,98 ⋅ 10 24 k g ( R ) 2

R = 3683323 m

Ponderando de forma fracionada com o raio natural de antes:

R f = 3683323 m 6,37 ⋅ 10 6 m ≅ 0,57

o u   R f = 57 %

Isso quer dizer que o raio seria 57 % menor.

Resposta

Fração de 0,57 de seu raio atual.

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