Enunciado

66. Um cubo de gelo pode deslizar em torno do interior de um aro circular de raio R . Ele efetuará oscilações de pequena amplitude se for deslocado da posição de equilíbrio, no ponto mais baixo do aro. Obtenha uma expressão para o período dessas oscilações de pequena amplitude.

Passo 1

Opa! E aí brother! Aqui vamos nós de novo!

Se liga só! A primeira coisa que devemos fazer, é um esboço pra representar melhor o que está acontecendo, inclusive posicionando um referencial pra entendermos o problema do jeito mais claro possível.

E aqui está nossa bela figura...

Conforme podemos ver, existem duas direções aí nesse figura para analisarmos, a direção radial e a direção tangencial.

Ah! Tem outro pequeno detalhe também que é importantíssimo! Precisamos assumir que o tamanho do cubo de gelo seja muito menor que R e que θ é um pequeno ângulo.

Só assim, nosso cubo poderá fazer suas oscilações!

Passo 2

Aí já sabe o que tem que fazer, né companheiro!?

A força gravitacional é a responsável por influenciar no movimento do nosso cubo!

Desse modo, partiu usar a 2 ª lei de Newton. Façamos o somatório das forças na direção tangencial... Lembrando que como a força tangencial faz a corpo girar no sentido horário; uma vez que por convenção adota-se geralmente o sentido anti-horário como positivo, a componente da nossa força peso ficará negativa

∑ F t a n g e n c i a l = m a

- F G ⋅ sen ⁡ θ = m a = m R α

Como a aceleração angular α é o mesmo que...

α = d 2 θ d t 2

Logo, obtemos que...

- F G ⋅ sen ⁡ θ = m R α

- m g sen ⁡ θ = m R d 2 θ d t 2

- g sen ⁡ θ = R d 2 θ d t 2

d 2 θ d t 2 = - g sen ⁡ θ R

Lembra lá do movimento pendular qual é a fórmula da frequência angular. Pois bem! Se não lembra, aqui está ela...

ω = g L

No caso pro nosso problema, o raio R é o nosso L ...

ω = g R

Acontece que a nossa fórmula obtida anteriormente foi...

d 2 θ d t 2 = - g sen ⁡ θ R

Tem um g / R nesssa fórmula. Que é justamente o quadrado da frequência angular ω . Sendo assim, ficamos com;

d 2 θ d t 2 = - ω 2 sen ⁡ θ

Como estamos trabalhando com ângulos muito pequenos, então...

sen ⁡ θ ≈ θ

E obtemos assim, que...

d 2 θ d t 2 = - g sen ⁡ θ R

d 2 θ d t 2 = - ω 2 θ

Passo 3

Finalmente, para obter o período de oscilação basta usar a fórmula abaixo...

T = 2 π ω

Uma vez que...

ω = g R

Então;

T = 2 π g R

E pronto! Terminamos aqui!

Até a próxima!

Resposta

T = 2 π g R

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