Enunciado

Neste problema, você deve usar o resultado do problema 105 para deduzir a Equação 14-51. Na ressonância, o denominador da fração entre colchetes no problema 105(e) é b 2 ω 0 2 e P m é d i a tem seu valor máximo. Para uma ressonância estreita, a variação de ω no numerador desta equação pode ser desprezada. Então, a potência desenvolvida terá a metade de seu valor máximo quando os valores de ω forem tais que o denominador seja igual a 2 b 2 ω 0 2 .

  1. Mostre que, neste caso, ω satisfaz m 2 ω - ω 0 2 ω + ω 0 2 ≅ b 2 ω 0 2 .
  2. Usano a aproximação ω + ω 0 = 2 ω 0 , mostre que ω - ω 0 = ± b / 2 m .
  3. Expresse b em termos de Q .
  4. Combine os resultados das partes (b) e (c) para mostrar que há dois valores de ω para os quais a potencia desenvolvida tem a metade do valor na ressonância, dados por

ω 1 = ω 0 - ω 0 2 Q

e

ω 2 = ω 0 - ω 0 2 Q

Logo, ω 2 - ω 1 = Δ ω = ω 0 / Q , o que é equivalente à equação 14-51.

Passo 1

  1. Lembra da equação 14-56? Então, vamos usar o que ele falou no enunciado sobre a potência desenvolvida, que será metade do valor máximo. O denominador da equação é:
  2. D = m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + b 2 ω 2

    Queremos que ele seja igual a 2 b 2 ω 0 2 . Então é só substituir!

    m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + b 2 ω 2 = 2 b 2 ω 0 2

    Ele diz que a ressonância é “estreita”. Isso quer dizer que Δ ω = ω - ω 0 é pequeno, quase nulo. Nesse caso, ω ≈ ω 0 , e então:

    m 2 ω 0 2 - ω 2 2 + b 2 ω 0 2 = 2 b 2 ω 0 2

    m 2 ω 0 2 - ω 2 2 ≈ b 2 ω 0 2

    A gente pode fatorar essa diferença de quadrados!

    m 2 ω 0 - ω 2 ω 0 + ω 2 ≈ b 2 ω 0 2

    E pronto, chegamos na equação que queríamos!

    Passo 2

  3. Como ω + ω 0 ≈ 2 ω 0 :
  4. m 2 ω 0 - ω 2 2 ω 0 2 ≈ b 2 ω 0 2

    ω 0 - ω 2 = b 2 4 m 2

    Tirando o quadrado a gente chega no que queremos, só não pode esquecer do ± na equação!

    ω 0 - ω = ± b 2 m

    Passo 3

  5. A gente sabe lá da teoria que a definição de Q é:
  6. Q = ω 0 m b

    Arrumando:

    b = ω 0 m Q

    Essa foi molezinha!

    Passo 4

  7. Juntando o resultado da letra (b) e da letra (c), a gente encontra:

ω 0 - ω = ± ω 0 m Q 2 m

ω = ω 0 ± ω 0 2 Q

Então olha aí os dois resultados possíveis:

ω + = ω 0 + ω 0 2 Q

e

ω - = ω 0 - ω 0 2 Q

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que, na Eq. 15-45, a amplitude x m é dada por: x m = F m m 2 ω d 2 - ω 2 2 + b 2 ω d 2 1 / 2 onde F m é a amplitude (constante) da força alternada externa exercida sobre a mola pelo suporte rí
Suponha que você tenha o mesmo aparato descrito no problema 83 , com a mesma esfera de ouro, agora pendurada em uma mola menos rija, com uma constante de força de apenas 35,0N / c m . Você estudou a v
Um oscilador amortecido perde 3,50 por cento de sua energia a cada ciclo? (a) Quantos ciclos decorrem até que metade de sua energia seja dissipada? (b) Qual é o seu fator Q ? (c) Se a frequência natur
102. Ressonância em um sistema mecânico. Um bloco de massa m está preso à extremidade de uma mola sem massa cuja constante é k e comprimento de equilíbrio igual a l 0 . A outra extremidade da mola pod
13.21P Um carro sem carga tem massa de 1200kg . Quando dois passageiros, com massa-conjunta de 150kg , entram no carro, sua plataforma sofre um deslocamento de 3,0cm para baixo. O carro, com seus pass