Enunciado

Uma surpresa gráfica. No instante t = 0 , um burrito é lançado a partir de um terreno plano, com uma velocidade inicial de 16,0   m / s e um ângulo de lançamento θ 0 . Imagine um vetor posição r → que ligue o ponto de lançamento ao burrito durante toda a trajetória. Plote o módulo r do vetor posição em função do tempo para (a) θ 0 = 40,0 ° e (b) θ 0 = 80,0 ° . Para θ 0 = 40,0 ° , (c) em que instante r atinge o valor máximo, (d) qual é esse vlor e a que distância (e) horizontal e (f) vertical está o burrito em relação ao ponto de lançamento? Oara θ 0 = 80,0 ° , (g) em que instante r atinge o valor máximo, (h) qual é esse valor e a que distância (i) horizontal e (j) vertical está o burrito em relação ao ponto de lançamento?

Passo 1

Queremos encontrar o módulo do vetor r → em função do tempo. Vamos começar escrevendo esse vetor:

r → = x   i ^ + y   j ^

Beleza, então o problema na verdade é escrever as coordenadas x e y em função do tempo.

Para a coordenada x , temos um movimento de velocidade constante, já que não existe nenhuma aceleração agindo na direção horizontal:

x = v 0 cos ⁡ θ t

E na direção vertical temos que considerar o efeito da aceleação da gravidade:

y = v 0 sen ⁡ θ t - 1 2 g t 2

Podemos substituir isso na expressão que escrevemos para r → :

r → = x   i ^ + y   j ^

r → = v 0 cos ⁡ θ t   i ^ + v 0 sen ⁡ θ t - 1 2 g t 2 j ^

Passo 2

E agora podemos calcular o módulo desse vetor:

r = v 0 cos ⁡ θ t 2 + v 0 sen ⁡ θ t - 1 2 g t 2 2

r = v 0 2 cos 2 ⁡ θ t 2 + v 0 2 sen 2 ⁡ θ t 2 - v 0 sen ⁡ θ g t 3 + 1 4 g 2 t 4

E podemos arrumar um pouco essa expressão:

r = t 2 v 0 2 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ - v 0 g sen ⁡ θ t + 1 4 g 2 t 2

r = t v 0 2 - v 0 g sen ⁡ θ t + 1 4 g 2 t 2

E agora podemos fazer os gráficos.

Passo 3

(a) No caso em que θ = 40,0 ° , temos:

r = t 16 2 - 16 9,8 sen ⁡ 40 ° t + 1 4 9,8 2 t 2

(b) No caso em que θ = 80,0 ° :

Passo 4

Para encontrar o valor máximo de r em função do tempo, precisamos tirar a derivada da nossa função e igualar a zero:

d r d t = 0

Para derivar a função, vamos deixá-la da seguinte forma:

r = v 0 2 t 2 - v 0 g sen ⁡ θ t 3 + 1 4 g 2 t 4

E então a derivada é:

d r d t = 2 v 0 2 t - 3 v 0 g sen ⁡ θ t 2 + g 2 t 3 v 0 2 t 2 - v 0 g sen ⁡ θ t 3 + 1 4 g 2 t 4

Como vamos igualar isso tudo a zero, o denominador vai sumir, então:

2 v 0 2 t - 3 v 0 g sen ⁡ θ t 2 + g 2 t 3 = 0

E garantindo que t ≠ 0 , podemos dividir tudo por t :

2 v 0 2 - 3 v 0 g sen ⁡ θ t + g 2 t 2 = 0

Passo 5

(c) No caso em que θ = 40 ° , essa equação fica da seguinte forma:

2 v 0 2 - 3 v 0 g sen ⁡ θ t + g 2 t 2 = 0

2 16 2 - 3 16 9,8 sen ⁡ 40 ° t + 9,8 2 t 2 = 0

512 - 302,4 t + 96,04 t 2

Que é uma equação do segundo grau. Mas dê uma olhada no Δ da equação:

Δ = 302,4 2 - 4 512 96,04 ≅ - 105,2

Ou seja, temos Δ < 0 , portanto não existe solução real para essa equação.

Isso quer dizer que a função não tem ponto de máximo para θ = 40 ° , e então a distância máxima simplesmente acontece quando o burrito atinge o chão.

Isso quer dizer que temos que calcular o tempo de voo do burrito:

t = 2 v 0 sen ⁡ θ g = 2 16 sen ⁡ 40 ° 9,8 = 2,10   s

Passo 6

(d) Para calcular o valor de r nesse instante nós podemos usar a nossa fórmula:

r = v 0 2 t 2 - v 0 g sen ⁡ θ t 3 + 1 4 g 2 t 4

r = 16 2 2,10 2 - 16 9,8 sen ⁡ 40 ° 2,10 3 + 1 4 9,8 2 2,10 4

r = 25,7   m

Passo 7

(e) E a distância horizontal correspondente a essa ponto pode ser calculada usando a fórmula que escrevemos lá em cima para a coordenada x :

x = v 0 cos ⁡ θ t

x = 16 cos ⁡ ( 40 ° ) 2,10

x = 25,7   m

(f) E como estamos considerando o instante em que o burrito toca o chão, claramente a distância vertical em relação ao ponto de lançamento é zero.

Passo 8

(g) Agora vamos fazer os mesmos cálculos para θ = 80 ° . Podemos aproveitar a fórmula que escrevemos antes para o ponto de máximo da função r ( t ) :

2 v 0 2 - 3 v 0 g sen ⁡ θ t + g 2 t 2 = 0

2 16 2 - 3 16 9,8 sen ⁡ 80 ° t + 9,8 2 t 2 = 0

512 - 463,2 t + 96 t 2 = 0

E podemos resolver essa equação para encontrar t :

t = 463,2 ± 463,2 2 - 4 512 96 ( 2 ) ( 96 )

t = 463,2 ± 134,0 192

E daqui tiramos duas raízes: t 1 = 3,11   s e t 2 = 1,71   s . Pelo nosso gráfico, podemos ver que o maior deles corresponde a um ponto de mínimo, então a resposta que procuramos é:

t = 1,71   s

Passo 9

(h) O valor de r nesse instante pode ser calculado usando a nossa fórmula:

r = v 0 2 t 2 - v 0 g sen ⁡ θ t 3 + 1 4 g 2 t 4

r = 16 2 1,71 2 - 16 9,8 sen ⁡ 8 0 ° 1,71 3 + 1 4 9,8 2 1,71 4

r = 13,5   m

(i) E podemos calcular a distância horizontal usando a fórmula que escrevemos para a coordenada x :

x = v 0 cos ⁡ θ t

x = 16 cos ⁡ 80 ° 1,71 = 4,75   m

(j) E a distância vertical também:

y = v 0 sen ⁡ θ t - 1 2 g t 2

y = 16 sen ⁡ 80 ° 1,71 - 1 2 9,8 1,71 2

y = 12,6   m

Resposta

(a) Ver gráfico.

(b) Ver gráfico.

(c) t = 2,10   s .

(d) r = 25,7   m .

(e) A distância horizontal é de 25,7   m .

(f) A distância vertical é zero.

(g) t = 1,71   s .

(h) r = 13,5   m .

(i) A distância horizontal é de 4,75   m .

(j) A distância vertical é de 12,6   m .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um jogador de basquete quer encestar a bola levantando-a desde uma altura de 2 m do chão, com velocidade inicial de 7 m/s. A distância da bola à vertical que passa pelo centro do cesto é de 3 m, e o a
Demonstre o resultado de Galileu enunciado à pg. 53, mostrando que, para uma dada velocidade v 0 v0, um projétil pode atingir o mesmo alcance A para dois ângulos de elevação diferentes,θ = 45 ° + δ e
Num jogo de vôlei, desde uma distância de 14,5 m da rede, é dado um saque do tipo “jornada das estrelas”. A bola sobe a 20 m acima da altura de lançamento, e desce até a altura do lançamento num ponto
Viajando na traseira de um caminhão aberto, que está acelerando uniformemente com aceleração a = 3m / s 2 , numa estrada horizontal, um estudante preguiçoso resolve aplicar seus conhecimentos de físic
No exemplo 4-7b uma bala é disparada por um canhão situado ao nível do mar com um ângulo de 45 ° com a horizontal e atinge uma distância de 686m . Qual seria o aumento da distância atingida pela bala