Enunciado

Um tanque cilíndrico horizontal com 2.20   m de diâmetro contém água até a metade. O espaço acima da água é preenchido com um gás pressurizado de indice de refração desconhecido. Um pequeno laser pode se mover ao longo do fundo curvo da água e lança um feixe de luz na direção do centro da superficie da água (Figura 33.51). Voce observa que, quando o laser se moveu uma distância   S   =   1.09   m ou mais (medida sobre a superficie curva) a partir do ponto mais baixo da água, nenhuma luz entra no gás. a) Qual é o indice de refração do gás? b) Quanto tempo leva para o feixe de luz se deslocar do laser até a borda do tanque quando: (i) S >   1.09   m ; (ii) S <   1,09   m ?

Passo 1

a)

se naquela posição o feixe de luz não passa para o gás ocorreu, portanto, a reflexão interna total. Aplicando a lei de snell:

n á g sen ⁡ θ c = n g sen ⁡ 90 °

O índice de refração do gás será dado por:

n g = 1,333 ⋅ sen ⁡ θ c

Eita...

Não sabemos quanto vale θ c . Mas relaxa! Podemos descobrir!

O ângulo θ c pode ser encontrado através do raio, r = 1,10   m , e de S .

θ c = S r

θ c = 1,09 1,10 = 0,991   r a d = 56,77 °

Show!

Então

n g = 1,333 ⋅ sen ⁡ θ c

n g = 1,333 ⋅ sen ⁡ 56,77 °

n g = 1,12

É isso aí! Bora para a próxima!

Passo 2

b)

‘i) Na primeira situação, teremo um ângulo maior do que o ângulo crítico, já que S > 1,09 m . Dessa forma, o feixe não passará para o gás, e portanto ele irá percorrer todo o caminho na água. A distância percorrida será de 2 R até ele atingir a borda do cilindro.

A velocidade do feixe na água é;

v = c n

v = 3 × 10 8 1,333

v = 2,25 × 10 8 m / s

Show! E o tempo de percurso pode ser encontrado a partir de;

v = d t

t = 2 R v

Substituindo os valores, encontramos:

t = 9,78   n s

Tranquilo?

Passo 3

B)

ii)

Agora, o raio vai passar tanto pela água, como pelo gás. Ele vai percorrer um distância de R na água e outra distância R no gás. Vamos encontrar o tempo de cada etapa desse percurso e depois, vamos somar!

Etapa 1- na água:

v a = c n a = 2,25 × 10 8 m / s

Então, o tempo gasto na água é:

t a = R 2,25 × 10 8

t a = 4,89 × 10 - 9 s

Etapa 2 – no gás:

v g = c n g = 2,68 × 10 8 m / s

Então, o tempo gasto nno gás é:

t g = R 2,68 × 10 8

t g = 4,11 × 10 - 9 s

Show! Então o tempo total é;

t = t a + t g

t = 8,99   n s

Show!!

Resposta

a) n g = 1,12

b)

i) t = 9,78   n s

ii) t = 8,99   n s

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