Enunciado

Um tanque cilíndrico vertical fechado e elevado, com diâmetro de 2,00 m, contém água a uma profundidade de 0,800 m. Um funcionário acidentalmente abre um furo circular com diâmetro de 2 cm no fundo do tanque. À medida que a água é drenada, o ar comprimido acima da água no tanque mantém uma pressão manométrica de 5,00 X 10 3 Pa na superfície da água. Ignore quaisquer efeitos de viscosidade. (a) Logo depois que o furo é feito, qual é a velocidade da água à medida que ela sai do furo? Qual é a razão entre essa velocidade e a velocidade de efluxo se o topo do tanque estiver aberto para o ar? (b) Quanto tempo levará para que a água seja drenada do tanque? Qual é a razão entre esse tempo e o tempo necessário para que o tanque seja drenado se seu topo estiver aberto para o ar?

Passo 1

Fala galera, bora lá!

Para resolvermos este problema vamos utilizar do nosso conhecimento sobre escoamento de um fluido, descrito na seção 14.4 do capítulo desse livro. O escoamento de um fluido depende das propriedades do mesmo, podendo ser classificado como fluido ideal ou como fluido incompressível.

Passo 2

(a) Para a solução deste problema iremos aplicar os conceitos de mecânica dos fluidos, sobre a equação de Bernoulli, onde a energia cinética é igual à energia potencial. Para o tanque aberto é considerado a pressão contida no tanque e com o tanque aberto sem a pressão, dessa forma acompanhe os passos!

v = 2 P ρ + 2 g h = 2 5000 1000 + 2 9,81 0,8

A velocidade da água à medida que ela sai do furo é

v = 5,06   m / s

E a velocidade da água com o tanque aberto sem a pressão é

v a = 2 g h = 2 9,81 0,8

v a = 3,95   m / s

Passo 3

Portanto, a razão entre a velocidade com o tanque fechado e tanque aberto, é:

v v a = 1,28

Passo 4

(b) A partir da equação diferencial da vazão do liquido, faremos a integração e a partir dos dados encontrados no item (a), encontraremos o tempo e faremos a razão entre os dois.

d V d t = A v

∫ d V = ∫ A v   d t

Resolvendo a integral, o tempo da água à medida que ela sai do furo é

t = V 2 2 A v = 0,8 π 2 2 3,14 × 10 - 4 5,06

t = 32,4   m i n

E o tempo da água com o tanque aberto sem a pressão é

t a = 0,8 π 2 2 3,14 × 10 - 4 3,95 = 955,6   s

t a = 15,9   m i n

Passo 5

Portanto, a razão entre o tempo com o tanque fechado e tanque aberto, é:

t t a = 2,08

Resposta

A velocidade da água é v = 5,06   m / s e a razão entre a velocidade com o tanque fechado e tanque aberto, é v v a = 1,28 .

O tempo da água é t = 32,4   m i n e a razão entre o tempo com o tanque fechado e tanque aberto é t t a = 2,08 .

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