Enunciado

O telescópio espacial Hubble foi usado para determinar a existência de planetas orbitando estrelas distantes. O planeta que orbita a estrela fará com que a estrela "balance" com o mesmo período da órbita do planeta. Por causa da oscilação, a luz da estrela será deslocada pelo efeito Doppler para cima e para baixo periodicamente. Estime os comprimentos de onda máximos e mínimos da luz do comprimento de onda nominal de 500 nm emitidos pelo Sol que é alterado pelo efeito Doppler causado pelo movimento do Sol devido ao planeta Júpiter.

Passo 1

Bom, vamos precisar calcular a velocidade da orbita do Sol em relação ao centro de massa entre o Sol e Júpiter, com ela poderemos calcular o comprimento de onda pedido no enunciado. Primeiro vamos escrever a massa dos dois planetas em termos do centro de massa em relação à origem que colocaremos no centro do Sol:

r c m = 0 M s + r s - j M J M s + M J

Sendo r s - j a distância relativa entre o Sol e Júpiter (ou o raio da orbita de Júpiter), o primeiro termo zera, pois a distância entre o Sol a origem é zero.

E escrevendo a massa dos dois planetas em termos de uma única massa efetiva:

M e f f = M s M J M s + M J

Passo 2

Vamos então aplicar a Segunda Lei de Newton para o Sol que está sendo atraído pelo conjunto Sol-Júpiter pela força gravitacional da massa efetiva do conjunto que se localiza no ponto do centro de massa dos dois corpos celestes:

G M s M e f f r c m 2 = M s a = M s v 2 r c m

Isolando a velocidade:

v = G M e f f r c m

Substituindo os valores da posição do centro de massa e da massa efetiva:

v = G M s M J M s + M J r s - j M J M s + M J = G M s r s - j

Substituindo os valores de cada grandeza:

v = ( 6.673 × 10 - 11 N . m 2 / k g 2 ) ( 1.99 × 10 30 k g ) 7.78 × 10 11 m = 1.306 × 10 4 m / s

Passo 3

Agora usando a equação do efeito Doppler para a frequência da luz, que ‘balançará’ devido ao efeito Doppler causado pelo movimento do Sol quando ele está se aproximando da Terra observada por um observador no telescópio Hubble:

f ' = f 1 + v / c 1 - v / c

E a frequência da luz pode ser escrita em termos de sua velocidade c e seu comprimento de onda:

f ' = c λ ' = c λ 1 + v / c 1 - v / c

Simplificando os c e isolando λ ' :

λ ' = λ 1 - v / c 1 + v / c = 1 - v / c 1 / 2 1 + v / c - 1 / 2

Expandindo binominalmente cada termo pois v ≪ c :

1 - v / c 1 / 2 ≈ 1 - v 2 c

1 + v / c - 1 / 2 ≈ 1 - v 2 c

Ficamos com:

λ ' = λ 1 - v 2 c 2

E fazendo outra aproximação pelo mesmo motivo:

λ ' ≈ λ 1 - v c

Quando o Sol está se afastando da Terra, os sinais se inverterão para λ ' :

λ ' = λ 1 + v / c 1 - v / c = λ 1 + v 2 c 2 ≈ 1 + v c

E então:

λ ' ≈ λ 1 ± v c

Passo 4

E por fim, substituímos o valor da velocidade que obtivemos anteriormente e do comprimento de onda dado no enunciado para encontrarmos o comprimento de onda máximo e mínimo modificado devido ao efeito Doppler:

λ ' ≈ ( 500 n m ) 1 ± 1.306 × 10 4 m / s 2.998 × 10 8 m / s

λ ' m a x = 500.02

λ ' m i n = 499 . 98

Resposta

λ ' m a x = 500.02

λ ' m i n = 499.98

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