Enunciado

Para explicar a resistência do ar (mais geralmente, de qualquer fluido) ao movimento de um corpo através dele, Newton propôs o seguinte modelo. O fluido é imaginado como sendo composto de um grande número (n por unidade de volume) de partículas em repouso, de massa m (muito pequena) cada uma. Quando o corpo, de massa M>>m, se desloca com velocidade v através do fluido, ele vai colidindo com as partículas e vai lhes transferindo momento dessa forma. A força F de resistência do fluido resultante é proporcional ao quadrado da velocidade. Calcule essa força se o corpo é uma placa de área A que se desloca perpendicularmente ao plano da placa, como função de A,v e da densidade ρ = nm do fluido.

Passo 1

Supondo ser uma colisão elástica e as partículas do fluído só ganham energia do tipo cinética e não térmica, podemos escrever a seguinte equação

m 2 v f 2   = m 2 m 2 - m 1 m 1 + m 2 v i 2 + m 2 2 m 1 m 1 + m 2 v i 1  

Como as partículas do fluido estavam inicialmente em repouso então v i 2 = 0 . Agora, a massa da placa m 1   é muito maior que a de uma pedacinho de massa do fluido, de massa d m 2 . Ou seja,

m 1 + d m 2 ∼ m 1

Então fica assim

d m 2 v f 2 = d m 2 2 m 1 m 1 v i 1

Como m 2 v f 2 é o momento final da partícula do fluido e v i 1 a velocidade v   da placa temos

d P f 2 = 2 d m 2 v

Como o momento total tem que se conservar o momento transferido à placa é

d P 1 = - 2 d m 2 v

Usando a segunda lei de Newton,

F d t = - 2 d m 2 v               ( 1 )

Vamos imaginar que esse pequeno elemento de massa empurrado seja uma fina camada de fluido em frente à placa, dessa forma aqui

Na medida em que a placa se desloca com velocidade v a fina massa d m é deslocada de d x , então podemos reescrever assim

d m d V = ρ

d m = ρ d V

= ρ A d x

Substituindo na fórmula   ( 1 ) temos

F d t = - 2 ρ A v d x

F = - 2 ρ A v d x d t      

= - 2 ρ A v 2

Resposta

F = 2 ρ A v 2

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