Enunciado

Quando tossimos, o ar é expelido em alta velocidade pela traqueia e brônquios superiores e remove o excesso de muco que está prejudicando a respiração. Essa alta velocidade é produzida da seguinte forma: depois que inspiramos uma grande quantidade de ar, a glote (abertura estreita da laringe) se fecha, os pulmões se contraem, aumentando a pressão do ar, a traqueia e os brônquios superiores se estreitam e a glote se abre bruscamente, deixando escapar o ar. Suponha que, durante a expulsão, a vazão seja 7,0.10 - 3   m / s . Que múltiplo da velocidade do som ( v s = 343   m / s ) é a velocidade do ar na traqueia se o diâmetro da traqueia (a) permanece com o valor normal de 14   m m e (b) diminui para 5,2   m m ?

Passo 1

Vamos tentar entender a situação como um problema de física. Dá uma olhada nesse diagrama bem simplificado de uma pessoa em perfil: (bem simplificado mesmo)

Beleza, aquelas duas bolotas no tronco do indivíduo são os pulmões. O ar é expelido dali, passa pelos brônquios (as linhas mais finas) até chegar na traqueia (o retângulo branco).

Independente da qualidade do desenho, o importante é você entender que a vazão ( R ) em todos esses trechos é a mesma, ou seja, esse produto aqui é constante:

R = A v

Onde A é a área da seção reta do trecho, e v é a velocidade do fluido (nesse caso o ar) naquele trecho.

O enunciado já diz que R vale 7,0   .   10 - 3   m 3 / s , e quer saber qual vai ser a velocidade do ar na traqueia dependendo da área dela.

Passo 2

Na letra (a), o diâmetro da traqueia é 14   m m , ou 14   .   10 - 3   m . Se a gente aproximar a traqueia como um cilindro, a área da seção reta dela vai ser um círculo, então:

A = π R 2 = π D 2 2 = π 4 D 2 = π 4 14.10 - 3 2 = 1,5   .   10 - 4   m 2

Pronto, agora podemos substituir isso na fórmula da vazão:

R = A v

v = R A

v = 7,0   .   10 - 3 ( 1,5.10 - 4 ) ≅ 47   m / s

E como “múltiplo da velocidade do som” (como o enunciado pediu):

v = 47 343 ≅ 14 %

Pronto, agora é só fazer a mesma coisa na letra (b).

Passo 3

Dessa vez o diâmetro da traqueia vai ser D = 5,2   m m = 5,2   .   10 - 3   m . Vamos jogar isso na fórmula da área do círculo mais uma vez:

A = π R 2 = π D 2 2 = π 4 D 2 = π 4 5,2.10 - 3 2 ≅ 2,1   .   10 - 5   m 2

E agora substituindo isso na fórmula da vazão:

v = R A

v = 7,0   .   10 - 3 ( 2,1   .   10 - 5 ) ≅ 333   m / s

Agora pra achar a resposta em “múltiplos da velocidade do som”:

v = 333 343 = 97 %

E essa é a resposta da letra (b)

Resposta

(a) 14 %

(b) 97 %

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