Enunciado

Num trabalho escrito em 1911, Ernest Rutherford disse: “Para se ter alguma ideia das forças necessárias para desviar uma partícula α através de um grande ângulo, considere um átomo contendo uma carga puntiforme positive Z e no seu centro e circundada por uma distribuição de eletricidade negativa - Z e , uniformemente distribuída dentro de uma esfera de raio R . O campo elétrico E ... a uma distancia r   do centro para um ponto dentro do átomo é

E = Z e 4 π ϵ 0   1 r 2 - r R 3 .   "

Verifique esta equação.

Passo 1

Fala galera, bora lá! Usamos primeiramente a lei de Gauss para encontrar uma expressão para a magnitude do campo elétrico a uma distância r do centro do átomo. O campo aponta radialmente para fora e é uniforme sobre qualquer esfera concêntrica com o átomo. Escolha uma superfície Gaussiana esférica de raio r com seu centro no centro do átomo. Tranquilo?

Passo 2

A magnitude do campo é representada por E , então o fluxo total através da Gaussiana é

Φ = 4 π r 2 E

A carga contida é a soma da carga positiva no centro Z e com a parte da carga negativa que está dentro da Gaussiana.

Uma vez que a carga negativa está supostamente uniformemente distribuída numa esfera de raio R , podemos computar a carga negativa dentro da Gaussiana usando a razão dos volumes das duas esferas, uma de raio r e a outra de raio R . A carga negativa dentro da Gaussiana nada mais é do que

- Z e r 3 R 3

Passo 3

Com isto tudo, a carga total é

Z e - Z e r 3 R 3

Ao igualar as expressões acima, a lei de Gauss nos fornece então que

4 π ϵ 0 r 2 E = Z e 1 - r 3 R 3

Isolando E , tiramos facilmente que

E = Z e 4 π ϵ 0 1 r 2 - r R 3

Resposta

E = Z e 4 π ϵ 0 1 r 2 - r R 3

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