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A Fig. 3-3 a mostra um cilindro fino, maciço, carregado, e uma casca cilíndrica coaxial, também carregada. Os dois objetos são feito de material não condutor e possuem uma densidade superficial de cargas uniforme na superfície externa. A Fig. 23-37b mostra a componente radial E do campo elétrico em função da distância radial r a partir do eixo comum. A escala do eixo vertical é definida por E s   =   3,0 × 10 3   N / C . Qual é a densidade linear de cargas da casca?

Passo 1

Primeiro, vamos observar o gráfico da figura (b).

Lembra-se da Lei de Gauss? Segundo ela, sendo A a área superficial de uma superfície imaginária qualquer, e q i n t a carga interna a ela:

∮ A E ⋅ d A = q i n t ϵ 0

Assim, quando não há carga interna a essa superfície, o que acontece?

Acontece que q i n t = 0 !!!

Então, a gente já pode deduzir que, a coordenada x a partir da qual o campo elétrico deixa de ser nulo é a aquela em que a superfície passa a ter um tamanho suficiente para abranger o cilindro interno carregado. Sendo r o raio desse cilindro, temos que:

∫ 0 L E 1 ⋅ 2 π r 1 d x = λ 1 × L ϵ 0 = E 1 ⋅ 2 π r 1 L

Isolando E :

E 1 = λ 1 2 π r 1 ϵ 0  

Pelo gráfico, E 1 = 3,0 × 10 3   N / C e r 1 ≅ 1,00   c m . Então:

λ 1 = E 1 × 2 π r 1 ϵ 0  

Passo 2

Agora, a gente vai aplicar a Lei de Gauss numa superfície externa aos dois cilindros

Assim:

∮ A E ⋅ d A = q i n t ϵ 0

Nesse caso, q i n t é dado pela soma das cargas de cada cilindro:

q i n t = λ 1 + λ 2 × L ϵ 0

Olhando novamente para o gráfico, a gente pode perceber um ponto a partir do qual o comportamento do gráfico muda, passando a ser negativo. Esse ponto é o correspondente àquele em que a superfície “imaginária” da Lei de Gaus coincide com a do cilindro externo.

Aplicando essa Lei para uma superfície com raio igual ao raio do cilindro mais externo carregado ( r = 3,5   c m , pelo gráfico) , temos:

E × 2 π × r × L = λ 1 + λ 2 × L ϵ 0

Sendo E =   - 2,00 × 10 3 N / C :

E = λ 1 + λ 2 ϵ 0 ⋅ 2 π r  

Do passo anterior, a gente encontrou que λ 1 = E 1 × 2 π r 1 ϵ 0   , sendo r 1 ≅ 1,00   c m e E 1 = 3,00 × 10 3 N / C . Nesse caso, isolando λ 2 , temos:

λ 2 = E × ϵ 0 ⋅ 2 π r - E 1 × 2 π r 1 ϵ 0

λ 2 = - 2,00 × 10 3 ⋅ 0,035 - 3,00 × 10 3 ⋅ 0,01 × 2 π ϵ 0 = - 5,8 × 10 - 9 C / m

Resposta

- 5,8 × 10 - 9 C / m

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