Enunciado

Um trenó para quatro pessoas (massa total = 630   k g ) desce um trecho reto no alto de uma encosta. O trecho reto tem 80,0   m de comprimento e uma inclinação constante de 10,2 ° com a horizontal. Suponha que o efeito combinado do atrito e do arrasto do ar produz sobre o trenó uma força constante de 62,0   N para cima, paralela à encosta. Responda às perguntas a seguir usando três algarismos significativos. (a) Se a velocidade do trenó no início da reta é de 6,20   m / s , quanto tempo o trenó leva para chegar ao final da reta? (b) Suponha que os ocupantes reduzam os efeitos do atrito e do arrasto para 42,0   N . Para a mesma velocidade inicial, quanto tempo o trenó agora leva para descer o trecho reto?

Passo 1

(a) Para saber quanto tempo o trenó leva para chegar ao final da reta, precisamos calcular a sua aceleração.

Pelo enunciado, temos “duas” forças atuando sobre o trenó. Primeiro, uma componente do peso, puxando ladeira abaixo:

P x = m g sen ⁡ θ

E segundo, a força combinada de atrito e arrastp. Que tem módulo de 62,0   N , apontando para cima ao longo da ladeira:

F a t = 62,0   N

Então, pela segunda lei de Newton:

F r e s = m a

m g sen ⁡ θ - 62 = m a

630 9,8 sen ⁡ 10,2 ° - 62 = 630 a

a = 1,64   m / s 2

Passo 2

(a) Então temos um corpo com velocidade inicial v 0 = 6,20   m / s , e aceleração a = 1,64   m / s 2 , quanto tempo ele leva para percorrer 80   m ?

Δ s = v 0 t + 1 2 a t 2

80 = 6,2 t + 1,64 2 t 2

0,82 t 2 + 6,2 t - 80 = 0

Agora é só resolver essa equação de segundo grau:

t = - 6,2 ± 6,2 2 - 4 0,82 - 80 ( 2 ) ( 0,82 )

t = - 6,2 ± 17,34 1,64

E como só a solução positiva faz sentido nesse caso:

t = 6,80   s

Passo 3

(b) Agora só precisamos refazer a mesma conta para o caso em que F a t = 42,0   N . Primeiro calculamos a aceleração:

F r e s = m a

m g sen ⁡ θ - 4 2 = m a

630 9,8 sen ⁡ 10,2 ° - 4 2 = 630 a

a = 1,6 7   m / s 2

E então jogamos na equação do segundo grau:

Δ s = v 0 t + 1 2 a t 2

1 2 1,67 t 2 + 6,2 t - 80 = 0

t = - 6,2 ± 6,2 2 - 4 0,8 35 - 80 ( 2 ) ( 0,8 35 )

E mais uma vez só a solução positiva tem sentido, então:

t = 6,76   s

Resposta

(a) O trenó levaria 6,80   s para chegar até o final da reta.

(b) O trenó levaria 6,76   s para chegar até o final da reta.

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