Enunciado

Três frequências de ressonância sucessivas de um tubo de órgão são 1310 ,   1834   e 2358   H z . (a) O tubo está fechado em uma das pontas ou aberto nas duas pontas? (b) Qual é a frequência fundamental? (c) Qual é o comprimento efetivo do tubo?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para responder o item (a), vamos avaliar as duas condições, de o tubo estar fechado em uma das pontas ou aberto nas duas pontas. A ideia é avaliar a relação entre essas frequências sucessivas, que são frequências de harmônicos com n sucessivos.

Para o tubo aberto nas duas pontas, temos que a diferença entre frequências de harmônicos com n consecutivos é igual a frequência fundamental, ou seja, a gente pode escrever:

∆ f = f 1

Onde f 1 é a frequência fundamental. E uma frequência de harmônico n é um múltiplo de f 1

f n = n f 1

Vamos calcular a diferença entre as frequências de dois harmônicos consecutivos que ele dá:

∆ f = 1834   H z - 1310   H z

∆ f = 524   H z

Então a frequência fundamental é

∆ f = f 1 = 524   H z

Daí a gente pode tentar descobrir o valor de n para a frequência f n = 1310   H z :

f n = n f 1

n = f n f 1 = 1310   H z 524   H z

n = 2,5

Isto indica que o tubo não está aberto nas duas pontas, mas sim fechado em uma extremidade.

Passo 2

Item (b): Queremos a real f 1 . Temos então um tubo fechado em uma das extremidades. Nesse tipo de tubo não temos os n pares, ou seja, temos apenas que

n = 1,3 , 5 , …  

Ou seja, o harmônico n = 3 vai ser consecutivo de n = 1 . Continua valendo que:

f n = n f 1

Só que agora, a diferença Δ f entre duas frequências f n com harmônicos consecutivos vai ser diferente. Por exemplo, vamos fazer a diferença entre f 1 e f 3 .

Δ f = f 3 - f 1

Sabemos que f n = n f 1 , então f 3 = 3 f 1 :

Δ f = 3 f 1 - f 1

Δ f = 2 f 1

Essa relação vale para todos as outras frequências de ressonância. Então vamos descobrir a frequência fundamental a partir dela.

Passo 3

Vamos expressar a condição de frequência para um tubo aberto nas duas pontas:

∆ f = 2 f 1

Isolar quem a gente quer

f 1 = 1 2 ∆ f

Pegar duas frequências consecutivas do enunciado para fazer essa diferença Δ f :

f 1 = 1 2 1834   H z - 1310   H z

f 1 = 1 2 524   H z

f 1 = 262   H z

Prontinho!

Passo 4

c) Usando a condição padrão da onda para o tubo aberto em uma extremidade, temos:

L = n λ n 4 ,   n = 1 ,   3 ,   5 , …

Queremos L 1 , o comprimento do tubo. Para n = 1 , temos:

L = λ 1 4

Não temos o comprimento da onda λ 1 . Mas sabemos que:

λ 1 = v f 1

Subsituindo na nossa expressão do comprimento:

L = λ 1 4

L = v 4 f 1

Sabendo que v é a velocidade do som, então v = 343   m / s . E f 1 é a frequência fundamental, substituimos os valores que temos para encontrar:

L = 343   m / s 4 ( 262   s - 1 )

L = 32,7   c m

Resposta

a )   O   t u b o   e s t á   f e c h a d o   e m   u m a   d a s   p o n t a s .

b ) f 1 = 262   H z

c ) L = 32,7   c m

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