Enunciado

Uma barra uniforme, de massa M e comprimento   L , pende como na figura, livre para girar sem atrito em torno do pivô em uma de suas extremidades. Ela recebe uma pancada horizontal, a uma distância x   do pivô, como mostrado. (a) Mostre que, imediatamente após a pancada, a rapidez do centro de massa da barra é dada por v 0 = 3 x F 0 Δ t 2 M L , onde F 0 e Δ t são a força média e a duração da pancada, respectivamente. (b) Determine a componente horizontal da força exercida pelo pivô sobre a barra e mostre que esta componente vale zero se x = 2 L 3 . Este ponto (o ponto de impacto para o qual a componente horizontal da força do pivô é zero) é chamado de centro de percussão do sistema barra-pivô.

Passo 1

a) Oláaaa, querido! Tá bem?

Então, a gente tem uma barra que recebe uma força F 0 durante o tempo de Δ t em um lugar que dista x da sua extremidade superior que está presa. Essa força faz com que a barra comece a girar, ou seja, ela apresenta aceleração angular α e rapidez angular ω .

Ele quer uma expressão para a rapidez do centro de massa dessa barra logo após a ação dessa força.

A rapidez do centro de massa é a rapidez linear do centro da barra (onde fica o centro de massa da barra). A expressão que a gente tem para a rapidez linear em função da rapidez angular é

v = ω r

Sendo que r é a distância do ponto que a gente quer em relação ao eixo de rotação. O nosso eixo de rotação é a extremidade de cima da barra. Então vamos ter r = L / 2 , como distância entre a extremidade e o centro de massa da barra. Então a rapidez do CM é:

v c m = ω L 2

Passo 2

Vamos achar uma expressão para essa rapidez angular ω .

Primeiro, a gente pode achar uma expressão para a aceleração angular usando a segunda lei de Newton para a rotação:

τ r e s = I α

Sendo que o torque resultante sobre a nossa barra é causado pela força F 0 . E a distância dela até o eixo de rotação é x , então o torque resultante vale:

τ r e s = F 0 x

Repara que F 0 e x são perpendiculares, então o torque é apenas o produto entre eles mesmo. Jogando isso na segunda lei de Newton e isolando a aceleração angular:

F 0 x = I α

α = F 0 x I

Esse I é o momento de inércia da nossa barra em relação ao eixo de rotação que está na sua extremidade. Então queremos o momento de inércia de uma barra fina em relação a um eixo que passa pela extremidade dela. Esse I tem essa fórmulinha:

I = 1 3 M L 2

Onde M é a massa da nossa barra e L o comprimento dela. Substituindo isso na nossa expressão da aceleração angular:

α = F 0 x I

α = F 0 x 1 3 M L 2 = 3 F 0 x M L 2

Passo 3

Temos então

α = 3 F 0 x M L 2

Mas cara, essa aceleração angular pode ter essa definição:

α = Δ ω Δ t

α = ω - ω 0 Δ t

Esse Δ t é o tempo que a força atua mesmo, tá? Esse é o tempo onde teremos aceleração angular, que é causada pelo torque, que é causado pela presença da força. Só que a nossa barra no começo de tudo estava paradinha, então ω 0 = 0 :

α = ω Δ t

Igualando nossas duas expressões de α :

3 F 0 x M L 2 = ω Δ t

Isolando ω :

ω = 3 F 0 x Δ t M L 2

Então, jogando essa ω lá na expressão da rapidez do centro de massa:

v c m = ω L 2

v c m = 3 F 0 x Δ t M L 2 L 2

v c m = 3 F o x Δ t 2 M L

Passo 4

b) Para achar a expressão da força que o pivô faz na barra, vamos usar o teorema impulso-quantidade de movimento. Ele diz que:

I r e s = Δ p

Só que Δ p é a quantidade de movimento que nossa barra ganha (já que ela sai do repouso). A quantidade total de movimento de um sistema pode ser escrita como o produto entre a massa dele e a rapidez do centro de massa. Então para a nossa barra, a gente vai ter:

Δ p = M v c m

E o impulso resultante sobre a barra é o impulso com relação a força F 0 e com relação a força F p do pivô. Vamos chamar de I p o impulso que o pivô faz na barra e I 0 o impulso de F 0 . Assim:

I r e s = I p + I 0

Aí a equação do teorema fica:

I r e s = Δ p

I p + I 0 = M v c m

Passo 5

Vamos dar uma incrementada nessa equação. O impulso pode ser escrito como o produto entre a força média e o tempo de ação da força. Então as expressões dos nossos impulsos ficam:

I p = F p Δ t

I 0 = F 0 Δ t

Isso porque a força horizontal do pivô atua enquanto há F 0 . Então os tempos de ação delas são iguais. Substituindo na nossa expressão do teorema:

I p + I 0 = M v c m

F p Δ t + F 0 Δ t = M v c m

Mas a gente tem a expressão de v c m do item anterior. Vamos substituir aí:

F p Δ t + F 0 Δ t = M 3 F o x Δ t 2 M L

Agora vamos isolar que a gente quer, a força F p :

F p Δ t = 3 F 0 x Δ t 2 L - F 0 Δ t

F p Δ t = F 0 Δ t 3 x 2 L - 1

F p = F 0 3 x 2 L - 1

Passo 6

Agora vamos descobrir o valor de x para que F p = 0 . Só zerar ela na nossa expressão:

F p = F 0 3 x 2 L - 1

0 = F 0 3 x 2 L - 1

3 x 2 L - 1 = 0

x = 2 L 3

Resposta

a )   v c m = 3 F o x Δ t 2 M L

b) x = 2 L 3 ,   F p = F 0 3 x 2 L - 1

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