Enunciado

Um tubo contendo ar comprimido a uma pressão de 1,25   a t m tem um vazamento através de um pequeno orifício em sua parede lateral. Sabendo que a densidade do ar na atmosfera é de 1,3   k g / m 3 , calcule a velocidade de escapamento do ar através do orifício.

Passo 1

Vamos começar com um desenho da situação:

O enunciado deu o valor da densidade ρ 1 do ar (do lado de fora). Vamos começar encontrando uma relação entre essa densidade e a pressão.

Usando a lei dos gases ideais:

P V = n R T

Mas o número de mols pode ser escrito como n = m / M (onde m é a massa do gás e M é a massa molar):

P V = m M R T

P = m V   R T M = ρ R T M

Beleza, fizemos a densidade aparecer. O termo entre parênteses é constante entre os dois ambientes:

P ρ = c o n s t a n t e

Passo 2

Agora vamos usar essa relação entre densidade e pressão para determinar a densidade do gás dentro do tubo:

P a t m ρ a t m = P O ρ 0

1   a t m 1,3   k g / m 3 = 1,25   a t m ρ 0

ρ 0 = 1,25 1,3 = 1,625   k g / m 3

Beleza, então agora temos os seguintes valores:

Agora falta calcular as velocidades.

Passo 3

Vamos usar a equação de Bernoulli. Tomando um ponto dentro do tubo e outro no orifício por onde o gás sai:

P o + ρ 0 g z + 1 2 ρ 0 v 0 2 = P a t m + ρ a t m g z + 1 2 ρ 0 v 1 2

Perceba que o ponto no orifício está em contato com a atmosfera, por isso usamos P a t m do lado direito da equação.

Podemos escolher os dois pontos de forma que z = 0 :

P o + 1 2 ρ 0 v 0 2 = P a t m + 1 2 ρ 0 v 1 2

No ponto dentro do tubo temos P o = 1,25   P a t m e v 0 = 0 :

1,25   P a t m = P a t m + 1 2 ρ 0 v 1 2

v 1 2 = 2 1,25 - 1 P a t m ρ 0

Usando P a t m = 1,013   .   10 5   P a :

v 1 = 2 1,25 - 1 1,01 3 . 10 5 1,625

v 1 ≅ 177   m / s

Resposta

A velocidade de escapamento do ar é v 1 = 177   m / s .

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