Enunciado

Uma única força conservativa paralela ao eixo O x atua sobre uma partícula que se desloca ao longo do eixo O x . A força corresponde ao gráfico de energia potencial indicado na F i g u r a   7.45 . A partícula é libertada a partir do repouso no ponto A.

a) Qual a direção e o sentido da força que atua sobre a partícula no ponto A?

b) E no ponto B?

c) Para qual valor de x sua energia cinética é máxima?

d) Qual é a força que atua sobre a partícula no ponto C?

e) Qual o valor máximo de x atingido pela partícula durante seu movimento?

f) Para quais valores de x a partícula está em equilíbrio estável?

g) Onde ela está em equilíbrio instável?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Antes de analisar cada situação, temos que lembrar umas coisas para esse exercício! Primeiro, temos que a força se relaciona com a energia potencial pela equação:

F x = - d U ( x ) d x

Outra coisa é que o equilíbrio é estável onde U ( x ) é um mínimo local e o equilíbrio é instável onde U ( x ) é um máximo local, beleza?

Lembrando, também, que d U ( x ) d x é a inclinação do gráfico de U em função de x .

E

K   =   E - U

então K é um máximo quando U é um mínimo. O máximo x é onde E   =   U .

Então, vamos olhar para as inclinações do gráfico para saber onde é negativo, onde é positivo e onde é máximo ou mínimo, ok? Bora lá!

Passo 2

Para o item (a), olhe cuidadosamente para o gráfico, é a energia potencial versus x .

Inicialmente, a partícula estava em repouso, então a força só pode agir na direção da velocidade.

Isso significa que a energia potencial deve estar diminuindo.

Pelo gráfico, podemos ver que: No ponto A, a energia potencial diminui na direção positiva de x .

Isso significa que a força inicial estava atuando na direção positiva de x.

F x = - d U ( x ) d x

Passo 3

Para o item (b), a inclinação é positiva, então a força é negativa. Pelo mesmo motivo do passo anterior (a força e a derivada de U possuem sinais contrários):

F x = - d U ( x ) d x

Passo 4

Para o item (c), a energia cinética é máxima quando U é um mínimo e isso acontece entre x = 0,5 e x = 1,0   m . Então, vamos usar a aproximação que

x = 0,75   m

Passo 5

Para o item (d), temos que a derivada no ponto C é zero, pois se trata de um ponto crítico (isso vem lá a disciplina de Cálculo para quem não lembra).

Isso porque a reta tangente à essa curva nesse ponto é horizontal. Com isso:

F x = - d U x d x = 0

A força é nula nesse ponto!

Passo 6

Para o item (e), o x é máximo quando E = U . No ponto A, a energia cinética é zero (a partícula está em repouso), mas   U é negativo, logo:

K   =   E - ( - U )

0   =   E - ( - U )

- U =   E

Para que a energia potencial seja positiva, a energia cinética precisaria ser negativa, mas não existe energia cinética negativa; portanto, o objeto nunca pode estar em qualquer ponto em que a energia potencial seja maior que no ponto A.

Passo 7

Para o item (f), o equilíbrio é estável onde U ( x ) é um mínimo local, isso acontece depois do ponto C e antes de B, assim vamos dizer que temos equilíbrios estáveis em x = 1,9   m   e x = 0,75   m .

Passo 8

Para o item (g), o equilíbrio é instável onde U ( x ) é um máximo local, o único potencial máximo e, portanto, o único ponto de equilíbrio instável, é o ponto C.

Resposta

(a) pelo gráfico, a inclinação é negativa, então a força é positiva, igual a equação

F x = - d U ( x ) d x

(b) a inclinação é positiva, então a força é negativa.

F x = - d U ( x ) d x

(c) a energia cinética é máxima quando U é um mínimo, logo, se localiza entre 0,5   e   1,0   m , mais próximo de 1,0   m . Temos que x = 0,75   m .

(d) a curva no ponto C parece bem próxima do plano x , então a força é zero.

(e) o objeto nunca pode estar em qualquer ponto em que a energia potencial seja maior que no ponto A.

(f) o equilíbrio é estável onde U   ( x )   é um mínimo local, isso acontece depois do ponto C e antes de B, assim vamos dizer que temos equilíbrios estáveis em x = 1,9   m   e   x = 0,75   m .

(g) o único ponto de equilíbrio instável, é o ponto C.

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