Enunciado

12.9. Determine o módulo, a direção e o sentido da força gravitacional resultante exercida pelo Sol e pela Terra sobre a Lua quando a Lua está em cada uma das posições indicadas na Figura 12.32 (Note que a figura não está desenhada em escala. Suponha que o Sol esteja no plano da órbita da Lua em torno da Terra, embora esse caso seja raro.) Use dados do Apêndice F.

Passo 1

Vamos começar pelo item (a), os astros estão na seguinte disposição

Vamos lembrar de como se calcular a força de atração gravitacional

F g = G ⋅ M ⋅ m d 2

Onde M e m são as massas, d é a distância entre os centros de gravidade dos corpos e G é a constante gravitacional universal

6,67408 ⋅ 10 - 11 m 3 k g ⋅ s 2

Precisamos calcular as forças de interação entre a Terra e a Lua e a Terra e o Sol, somar vetorialmente e aí temos nossa força resultante. O interessante é o que o apêndice do livro nos dá a massa da Terra, a massa do Sol, a massa da Lua, a distância entre o a Terra e a Lua, a distância entre a Terra e o Sol e o raio da Terra, e isso é tudo que a gente precisa.

Vamos começar a resolver o primeiro item. Primeiro vamos calcular a força de interação entre a Terra e a Lua

F T L = 6,67408 ⋅ 10 - 11 ⋅ 5,972 ⋅ 10 24 ⋅ 7,36 ⋅ 10 22 3,844 ⋅ 10 8 2

E fazendo essa continha temos

F T L = 1,985 ⋅ 10 20   N

E agora vamos fazer a força de interação entre o Sol e a Lua. O interessante aqui é perceber que a distância entre o Sol e Lua vai ser a distância entre o Sol e Terra somado com a distância entre a Lua e a Terra

F S L = 6,67408 ⋅ 10 - 11 ⋅ 1,989 ⋅ 10 30 ⋅ 7,36 ⋅ 10 22 3,844 ⋅ 10 8 + 1,496 ⋅ 10 11 2

Agora vamos fazer essa conta

F S L = 4,343 ⋅ 10 20   N

Agora para ter a força total, a gente pode só somar direto as duas forças que calculamos, porque elas estão no mesmo sentido e direção.

F T o t a l = F T L + F S L

F T o t a l = 1,985 ⋅ 10 20 + 4,343 ⋅ 10 20

F T o t a l = 6,328 ⋅ 10 20   N

Então a resposta do item (a) é

Módulo: 6,328 ⋅ 10 20   N

Direção: A linha que cruza os centros gravitacionais

Sentido: Em sentido ao Sol

Passo 2

Agora vamos para o segundo caso

Olha só, a distância entre a Lua e a Terra permaneceu a mesma que no exercício anterior, então a gente não precisa calcular a força de novo 😊!

F T L = 1,985 ⋅ 10 20   N

Agora, a distância entre o Sol e a Lua muda :/, e para descobrir a nova distância, a gente vai precisar de um pouco de Pitágoras.

Temos esse triângulo, e a hipotenusa é a distância entre o Sol e a Lua, os catetos são as distâncias entre a Terra e a Lua e entre a Terra e o Sol. Vamos calcular

h = 3,844 ⋅ 10 8 2 + 1,496 ⋅ 10 11 2

h = 1,496 ⋅ 10 11   m

Olha só, podemos aproximar a distância entre a Lua e o Sol à distância entre a Terra e o Sol.

Agora vamos calcular essa força

F S L = 6,67408 ⋅ 10 - 11 ⋅ 1,989 ⋅ 10 30 ⋅ 7,36 ⋅ 10 22 1,496 ⋅ 10 11 2

Fazendo essa conta

F S L = 4,365 ⋅ 10 20   N

Agora vamos somar vetorialmente.

Temos essas forças agindo na Lua

Agora a gente só precisa fazer a decomposição da força de interação entre o Sol e a Lua.

Vamos fazer isso

F S L x = F S L ⋅ cos ⁡ θ = F S L ⋅ C a t e t o   A d j a c e n t e H i p o t e n u s a

F S L x = 4,365 ⋅ 10 20 ⋅ 3,844 ⋅ 10 8 1,496 ⋅ 10 11 = 1,121 ⋅ 10 18   i ^

E agora vamos calcular para y

F S L y = F S L ⋅ sin ⁡ θ = F S L ⋅ C a t e t o   O p o s t o H i p o t e n u s a

F S L y = 4,365 ⋅ 10 20 ⋅ 1,496 ⋅ 10 11 1,496 ⋅ 10 11 = 4,365 ⋅ 10 20   j ^

Então

F T o t a l = 1,985 ⋅ 10 20 + 1,121 ⋅ 10 18 i ^ + 4,365 ⋅ 10 20   j ^

Então para calcular o módulo

F T o t a l = 1,985 ⋅ 10 20 + 1,121 ⋅ 10 18 2 + 4,365 ⋅ 10 20 2

F T o t a l = 4,8 ⋅ 10 20   N

Já vamos calcular também a direção da força resultante, basta calcular θ

tan ⁡ θ = C a t e t o   O p o s t o C a t e t o   A d j a c e n t e

Logo

θ = tan - 1 ⁡ 1,496 ⋅ 10 11 3,844 ⋅ 10 8 = 89,85 °

Então item (b) é

Módulo: 4,8 ⋅ 10 20   N

Direção: 89,85° a partir do eixo x

Sentido: Em sentido ao quarto quadrante

Passo 3

Agora finalmente vamos para o último item

Bem, de novo a Lua continua à mesma distância da Terra, então não precisamos calcular 😊!

F T L = 1,985 ⋅ 10 20   N

Agora vamos de novo ver a distância entre o Sol e a Lua, agora repare que essa distância é a mesma coisa que a distância entre o Sol e a Terra menos a distância entre a Terra e a Lua. Agora é só calcular.

F S L = 6,67408 ⋅ 10 - 11 ⋅ 1,989 ⋅ 10 30 ⋅ 7,36 ⋅ 10 22 1,496 ⋅ 10 11 - 3,844 ⋅ 10 8 2

Por tanto

F S L = 4,388 ⋅ 10 20   N

Agora vamos fazer a soma. A gente vai estar na seguinte situação:

Vamos adotar para baixo como sentido positivo.

Então nossa força total fica

F T o t a l = 4,388 ⋅ 10 20 - 1,985 ⋅ 10 20 = 2,403 ⋅ 10 20

Módulo: 2,403 ⋅ 10 20   N

Direção: A linha que cruza os centros gravitacionais

Sentido: Em sentido ao Sol

Resposta

  1. Módulo: 6,328 ⋅ 10 20   N
  2. Direção: A linha que cruza os centros gravitacionais

    Sentido: Em sentido ao Sol

  3. Módulo: 4,8 ⋅ 10 20   N
  4. Direção: 89,85° a partir do eixo x

    Sentido: Em sentido ao quarto quadrante

  5. Módulo: 2,403 ⋅ 10 20   N

Direção: A linha que cruza os centros gravitacionais

Sentido: Em sentido ao Sol

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