Enunciado

Usando a figura abaixo, suponha que as superfícies descritas possuem atrito, e que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e as superfícies é 0,30 . O bloco tem uma rapidez inicial de 7,0   m / s e desliza 2,0   m antes de chegar até a rampa. Encontre (a) a rapidez do bloco quando ele chega até a rampa, e (b) a distância pela qual o bloco desliza ao longo da superfície inclinada antes de parar por um momento. (Negligencie qualquer energia dissipada ao longo da curva de transição).

Passo 1

(a) Como a rapidez inicial do bloco é de 7,0   m / s , nós podemos calcular sua energia cinética inicial:

E 0 = K 0 = m v 2 2 = 3,0 7,0 2 2 = 73,5   J

E parte dessa energia será perdida conforme o atrito realiza trabalho sobre o bloco ao longo dos 2,0   m de deslocamento:

W = - F d = - ( F a t ) ( 2,0 )

W = - ( μ m g ) ( 2,0 )

W = - 0,30 3,0 9,81 2,0 = - 17,7   J

E então no final das contas a energia cinética que resta para o bloco é:

E f = E 0 + W = 73,5 - 17,7

E f = 55,8   J

E a rapidez associada a essa energia cinética é:

55,8 = m v f 2 2

v f = 2 55,8 ( 3,0 ) = 6,1   m / s

Passo 2

(b) Conforme o bloco sobe a rampa, parte da energia cinética vai se converter em energia potencial gravitacional e a outra parte será dissipada pela força de atrito.

Vamos encontrar expressões para cada uma dessas energias, em função da distância d percorrida ao longo do plano inclinado. Começando pelo trabalho da força de atrito:

E a t = F a t d

E a t = μ N d

E a força normal, nesse caso, será igual à componente do peso que é perpendicular ao plano inclinado:

N = P cos ⁡ θ = m g cos ⁡ θ

E a t = μ m g cos ⁡ θ d

E agora a energia potencial gravitacional:

U = m g h = m g d sen ⁡ θ

Agora vamos somar essas duas energias:

U + E a t = m g d sen ⁡ θ + μ m g d cos ⁡ θ = m g d sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ

Passo 3

O bloco vai parar de subir no instante em que a soma dessas duas energias for igual à energia cinética que ele tinha na base da rampa:

K = U + E a t

55,8 = m g d sen ⁡ θ + μ cos ⁡ θ

55,8 = ( 3,0 ) ( 9,81 ) ( d ) sen ⁡ 40 ° + 0,3 cos ⁡ 40 °

d = 55,8 ( 3,0 ) ( 9,81 ) sen ⁡ 40 ° + 0,3 cos ⁡ 40 °

d = 2,2   m

Resposta

(a) A rapidez quando ele chega até a rampa v f = 6,1   m / s .

(b) A distância total é 2,2   m .

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